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一、证明题

1． 设随机变量独立同分布，且

试用特征函数的方法证明:

【答案】因

为

这正是伽玛分布 2． 证明:

【答案】不妨设另一方面，还有

综合上述两方面，可得

3． 设

为独立随机变量序列，且

证明:

服从大数定律.

相互独立，且

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

.

利用此结果计算

4． 设随机变量X

服从参数为的泊松分布，试证明

:

【答案】

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所以由

诸的相互独立性

得的特征函数

为

的特征函数，由唯一性定理知

. ，则

【答案】因为由此可得马尔可夫条件

由此得

5． 设总体

证明:

【答案】大家知道:则

分别是

为样本，

分别为, 的无偏估计，设

的UMVUE.

是0的任一无偏估计，

*

即

将

式两端对求导，并注意到

有

这说明为证明是

，即

，于是

式的两端再对求导，得

由此可以得到的项，有

这表明这就证明了是

由此可得到的UMVUE ,

，因而

t

6． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为

证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为所以，

，则

与的联合分布为

，下一步，将

式两端对

求导，略去几个前面已经指出积分为0

，从而是的UMVUE.

的UMVUE ，我们将

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即成功概率p 的后验分布为塔分布族.

7． 设X 为非负连续随机变量，若

（2）

，故成功概率p 的共轭先验分布族为贝

存在，试证明:

【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.公式得

（2）因为X 为非负连续随机变量，所以X 也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得

令

，则

8． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明:

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

二、计算题

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