2017年山东大学威海校区825线性代数与常微分方程之高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同.
2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
3． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
，
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
线性无关，
由上述知线性相关，所以于是
因此线性相关，故选A.
4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ， 记 A. B. C. D. 【答案】B 则（ ）. 【解析】由已知，有 于是 二、分析计算题 6． 证明：实方阵A 的特征根全为实数的充要条件是，存在正交方阵P 使 【答案】设A 的特征根全为实数，且设且与A 相似，设 但由上题知， ，于是 （P 为正交矩阵，Q 为上三角形矩阵） 又因为Q , J都是上三角形矩阵，故反之，设P 为正交矩阵使 即 为上三角形矩阵. 为上三角形矩阵. 为A 的若尔当标准形，则J 为实矩阵 为上三角形矩阵，即有 由于相似方阵有相同的特征根，故实数 为A 的全部特征根，即A 的特征根全为实数. 7． 设实数域上矩阵 在V 的一个基 （1）判定A 是否为正定阵，要求写出理由. （2）设V 是实数域上的3维线性空间，V 上的一个双线性函数 下的度量矩阵为A , 证明： 欧氏空间的一个标准正交基. 是V 的一个内积；并且求出v 对于这个内积所成的