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一、计算题

1． 质量为m 的杆水平地放在两个半径相同的轮上, 两轮的中心在同一水平线上, 距离为2a. 两轮以等值而反向的角速度各绕其中心轴转动, 如图1所示. 杆AB 借助与轮接触点的摩擦力的牵带而运动, 此摩擦力与杆对滑轮的压力成正比, 摩擦因数为f. 如将杆的质心C 推离其对称位置点0, 然后释放. （1）证明质心C 的运动为谐振动, 并求周期T ; （2）若a=250mm, T=2s时, 求摩擦因数

f.

图1

【答案】

图2

（1）取杆为研究对象, 建立如图所示坐标系, 取O 点为坐标原点, 受力分析如图2所示 根据

可列方程:

解得:

摩擦力为:

杆的运动微分方程是:

代入数值, 整理得:

上式为谐振动微分方程, 其振动周期为:

（2）当a=250mm, T=2s, 解得

2． 图1所示系统处于平衡状态。杆

弹簧弹性系数（2）弹簧原长。

各杆重量不计，求

（1）BCD 杆上B 、C 、D 三处所受到的力；

两杆的中心处用一销钉C

连接。已知

图1

【答案】（1）取整体进行受力分析，如图2所示。

图2

由平衡方程

得

得

（2）取杆BCD 进行受力分析，如图3所示。

图3

由平衡方程

得

联立方程，解得

对弹黃，有

解得

所以弹簧原长为

3． 斜置于铅直面内、长为21的均质杆AB , 其B 端搁置在光滑水平面上, 并与水平轴成角. 求当杆倒下时, A 点的轨迹方程.

【答案】建立图1所示坐标系

.

图1

由于水平方向

符合质心运动守恒定律, 在水平方向上质心坐标不变, 因此