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一、计算题

1． 质量为m 的物块W 固定在水平杆AB 的B 端，刚度系数为k 的铅直弹簧支撑在水平杆EF 的F 点，杆AB 、EF 、CD 的质量不计，图（a ）所示位置为系统的静平衡位置. 求系统微幅振动的固有频率

.

图

【答案】因系统为保守系统，所以可用能量法.

物块在平衡位置附近做微幅振动，如图（b ）所示，设运动规律为

则系统的动能为

最大动能为

取静平衡位置为零势能点，系统的势能为

式中

弹簧的变形.

，C 处的线位移为

’，而EF

当物块有最大位移A 时，AB 杆的转角杆的转角

，则弹簧的最大线位移为

所以系统的最大势能为

由

得

2． 图1所示质量为m 、长为1的均质杆AB , 水平地自由下落一段距离h 后, 与支座D 碰撞（

）. 假定碰撞是塑性的, 求碰撞后的角速度和碰撞冲量

I.

图1

【答案】设杆AB 与支座碰撞前瞬间的速度为, 根据动能定理得:

解得:

图2

碰撞过程中杆AB 在支座D 处受到的冲量如图2所示, 设碰撞后杆AB 质心速度为v , 根据动量矩守恒定理得:

其中, 带入

的值, 解得:

对杆应用冲量定理得:

将上式分别沿x 方向和y 方向投影: x 方向上,

y 方向上,

其中碰撞后质心速度解得:

解得碰撞过程中的碰撞冲量为:

3． 车床主轴的转速n=30r/min，工件的直径d=40mm，如图1

所示。如车刀横向走刀速度为=10mm/s，证明车刀对工件的相对运动轨迹为螺旋线，并求出该螺旋线的螺距。

图1

【答案】以刀尖为动点，工件为动系，绝对运动为直线运动，相对运动为曲线运动，牵连运动为曲线运动，速度分析如图2所示。

图2

由

可得

其中

解得

螺距为工件旋转一周车刀所移动的距离，故螺距h=60v/n=20mm。