2018年江西农业大学园林与艺术学院701数学之工程数学—线性代数考研核心题库
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一、选择题
1． 设A
是
A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】
因的个数，
故方程组
其中n
是
有非零解，但不必要，
因为当
的阶数，即方程组
时
的未知数此时方程
矩阵.
则
是齐次线性方程组
有非零解的（ ）。
组可能只有零解，也可能有非零解.
2． 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（ ）。
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A 项是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化
B 项是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化.
C 项是秩为1的矩阵，
由
知齐次方程组
知矩阵的特征值是4, 0, 0.
对于二重根
由秩
的基础解系有3_1=2个线性无关的解向量，
即
由
有两个线性无关的特征向量. 从而矩阵必可以相似对角化.
D 项是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，_1就是矩阵的特征值，对于二重特征值
秩
齐次方程组
只有3-2=1个线性无关的解，
亦即
只有一个线性无关的特征向
量，故矩阵必不能相似对角化.
3． 设三阶矩阵A 的特征值是0, 1, -1, 则下列命题中不正确的是（ ）。
A. 矩阵A-E 是不可逆矩阵 B. 矩阵A+E和对角矩阵相似
C. 矩阵A 属于1与-1的特征向量相互正交 D. 方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成 【答案】C
A 项，-1, 因此矩阵A-E 的特征值是-1, 0, -2.
由于【解析】因为矩阵A 的特征值是0, 1，矩阵A-E 的特征值，所以A-E 不可逆.
B 项，因为矩阵A+E的特征值是1, 2, 0, 矩阵A+E有三个不同的特征值，所以A+E可以相似
对角化（或由
而知A+E可相似对角化）。
D 项，因为矩阵A 有三个不同的特征值，知
因此
从而齐次方程组Ax=0
的基础解系由
个解向量构成.
是
C 项，若A 是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n 阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不正交.
4． 下列矩阵中，正定矩阵是（ ）。
A.
B.
C.
D. 【答案】C
【解析】D 项，二次型正定的必要条件是
：
相矛盾.
由
于易
知
与
AB 两项，二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零.A 项中二阶主子
式
B 项中，
三阶主子式
5．
设
基础解系，则
A.
B.
C.
D. 【答案】D
都为
是四阶矩阵，
为A 的伴随矩阵，若
是方程Ax=0的一个
的基础解系可为（ ）。
【解析】由伴随矩阵性质知
，
的解. 又r （A ）=3.
从而
又Ax=0有非零解，故|A|=0,
即
故
即
的基础解系的秩为3. 又由条
件知
，
即线性相关.
从而
，
组
.
A. B. C.
【答案】C 【解析】
由于知
即
的三个解
线性无关且为的基础解系.
是非齐次线性方程
6． 设A 是4阶矩阵，若
为4的伴随矩阵，则下列各命题中不正确的是（ ）.
的基础解系所含解向量的个数相等 的特征向量
均为
.
故
即
的非零解向量，
且
与
线性无关，可
D.
任一非零向量均为
易知A 、B 、D 三项均成立，C 项不成立.
二、填空题
7．
行列式
=_____.
【答案】4!3!2! （或288）
【解析】第2, 3, 4行提出公因子2, 3, 4, 再转置，得范德蒙行列式，直接代入范德蒙行列式的结果得
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