2018年江西农业大学食品科学与工程学院701数学之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A
是
矩阵，B 是
矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB=E，则（ ）。
A.r （A ）=m, r （B ）=n. B.r （A ）=m, r （B ）=n. C.r （A ）=n, r （B ）=m. D.r （A ）=n，r （5）=n. 【答案】A 【解析】
由题设可知
又A
是 2．
与二次型
A.
矩阵，B
是
矩阵，
故
即
于是r （A ）=m，r （5）=m.
的矩阵A 既合同又相似的矩阵是（ ）。
B.
C.
D. 【答案】B
【解析】二次
型则有
经正交变
换
化为新的二次
型，由
于
故
即原二次型矩阵A 和新二次型矩阵B 合同，又因Q 是正交矩阵，
因此在正交变换下，二次型矩阵A 与B 不仅合同而且相似.
因为两个实对称矩阵相似的充分必要条件是有相同的特征值，现在
知矩阵A 的特征值是2, 4, -2. 所以应当选B.
3． n 阶矩阵A 与B 有相同的特征向量是A 与B 相似的（ ）。
A. 充分必要条件 B. 充分而非必要条件 C. 必要而非充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】
由
即存在可逆矩阵P
使
知；
若
即是A 的特征向量，
是B 的特征向量. 所以，A 与B 的特征向量不同. 反之，若A 与B
由于A 与B 来说既不充分又不
有相同的特征向量，因为它们可以属于不同的特征值，
即
的特征值不同，A 和B 不可能相似. 因此，A 与B
有相同的特征向量对于必要.
4． 设向量
组（ ）。
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】AC 两项，由于这两个命题互为逆否命题，一个命题与它的逆否命题要正确就全正确，要错误就全 错误. 按本题的要求仅有一个命题是正确的，所以可排除. 其实亦可考查下面的例
子
与显
然
可以线性无关.
D 项，
如果
线性相关，即有不全为0
的
使
即
当
线性相关时，其延伸
组
相关
无关
无关
无关
有
向量
组
则正确的命题是
即有非零解，
那么齐次方程组必有非零解，
即
线性相关.
5． 设A , B为n
阶方阵
A.
若B.
若C.
若【答案】C
A 项，
【解析】将等式有
为n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是（ ）。
则A 的列向量组与B 的列向量组等价 则A 的行向量组与B 的行向量组等价
则A 的行（列）向量组与B 的行（列）向量组等价
D. 若A 的行（列）向量组与矩阵B 的行（列）向量组等价，则矩阵A 与B 等价
中的A , B
按列分块
则
表明向量组
向量组
C 项，设
则P , Q均为可逆矩阵，且
易见B 的行（列）向量组与A 的行（列）向量组不等价.
D 项，若A 的行（列）向量组与B 的行（列）向量组等价，则这两个向量组的秩相同，从而矩阵A 与B 的 秩相同，故矩阵A 与B 等价（两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等）。
6． 下列矩阵中，正定矩阵是（ ）。
A.
可由向量组
即
线性表示，从而这两个向量组等价.
可由向量组
线性表示，表示的系数依次为Q 的第
表明
一列至第n 列，由于Q 可逆，从而有
B 项，类似地，对于
将A 与B 按行分块可得出A 与B 的行向量组等价.
B.
C.