2017年中国农业大学农学与生物技术学院701数学(农)之概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设总体二阶矩存在,
是样本, 证明
则
由
因而
所以
2． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：
（1）（2）
【答案】（1）由于
存在，所以该级数绝对收敛，从而有
（2）
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与的相关系数为
【答案】不妨设总体的方差为
由于,
3． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.
【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以
4． 证明:对任意常数c , d , 有
【答案】
由
得
因而结论成立.
5． 证明：
（1）（2）
【答案】（1）由
移项即得结论. 即A ，B 相容.
6． 设
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
为来自
的i.i.d 样本，其中
）.
样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法，在
下
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未知. 证明关于假设
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
【答案】记
分别为的MLE.
而在
下的MLE
为
于是似然比统计量为
在
时
由于
故只需考虑
的情形，此时A 为
的单
调增函数，故此时的似然比统计量A 是传统的t 统计量的増函数，即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域
由t 检验的结论知，
7． 设
这就完成了证明.
是来自两参数指数分布
的样本, 证明（）是充分统计量.
【答案】由已知, 样本联合密度函数为
令
8． 设随机变量
独立同分布, 且
, 由因子分解定理,
是
的充分统计量•
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
, 这正是伽玛分布
, 所以由
诸的相互独立性
得特征函数
为
的特征函数, 由唯一性定理知
二、计算题
9． 某乳制品公司有四个车间生产同一种酸乳酪，为考察四个车间产品中脂肪含量是否一致，特在每个车间生产的产品中各抽取8个样品送到实验室进行脂肪含量测定，测量结果如下：
表
1
试比较各车间生产的酸乳酪中脂肪含量均值有无显著差异（取α=0.05）. 【答案】为简化运算先把测量值
减去3后再乘以100，可得下表：
表2
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