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一、证明题

1． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

2． 设总体

【答案】由于总体均方误差为

将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当

时，

最小. 且

这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.

3． 设以下所涉及的数学期望均存在, 试证:

（1）（2）（3）

【答案】（1）由（2）因为（3）

4． 设总体为韦布尔分布

其密度函数为

现从中得到样本

证明

仍服从韦布尔分布, 并指出其参数.

为

因而最小次序统计量

的分布函数为

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即A ，B 相容.

是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合

下存在优于的估计. 现考虑形如

的估计类，其

所以

估计和无偏估计，试证明在均方误差准则

知

又由（1）知

所以有

【答案】由总体分布的密度函数可得总体的分布函数

这说明. 5． 设

是来自泊松分布

的样本, 证明

是充分统计量.

有

【答案】由泊松分布性质知, 在给定T=t后, 对任意的

该条件分布与无关, 因而

6． 设二维随机变量

服从二元正态分布, 其均值向量为零向量, 协方差阵为

是来自该总体的样本, 证明:

二维统计量

该二元正态分布族的充分统计量.

【答案】该二元正态分布的密度函数为

此处,

故

从而

注意到

上式可化解为

于是样本的联合密度函数为

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是充分统计量.

是

由因子分解定理知, 结论成立.

7． 设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为

其

中明,

【答案】令

服从自由度为2的（1）, 则

为样本的次序统计量. 试证分布

的联合密度为

作变换

其雅可比（Jacobi ）行列式为

合密度我们可以知道

的联合密度为

从而

由该联

是独立同分布的随机变量, 且

这是指数分布就证明了

的分布函数, 我们知道

,

就是

也就是

. 这

8． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明：

【答案】

将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得

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