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一、计算题

1． 设回归模型为

试求

的最大似然估计，它们与其最小二乘估计一致吗？

【答案】似然函数为

其对数似然函数为

导并令导函数为0，得到如下似然方程组

经过整理可以解出

可以看到

的最大似然估计与其最小二乘估计是一致的.

，将其分别对（忽略常数项）

求

2． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一件，试求取到三级品的概率.

【答案】设取到三级品的概率为P ，则取到二级品的概率为2p ，取到一级品的概率为6p ，

由

解得P=l/9.

3． 甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球.

（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球. 试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；

（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球. 试求最后从乙口袋取出的是白球的概率.

【答案】记事件A 为“从乙口袋取出的这个球是白球 （1）对甲口袋取出的球是白球或黑球，使用全概率公式可得

（2）对甲口袋取出的两个球分三种情况：两个白球、一黑一白、两个黑球. 使用全概率公式可得

4． 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时. 它的密度函数为

（1）确定常数c ； （2）写出X 的分布函数；

（3）试求在20分钟内完成一道作业的概率； （4）试求10分钟以上完成一道作业的概率. 【答案】（1）因为由此解得c=21. （2）当x<0时，当

时，

当x>0.5时，所以X 的分布函数为

（3）所求概率为（4）所求概率为

5． （泊松大数定律）设的概率为

为n 次独立试验中事件A 出现的次数, 而事件A 在第i 次试验时出现

则对任意的

, 有

【答案】记

则

所以由切比雪夫不等式, 对任意的有

即

6． 把一颗骰子独立地掷n 次, 求1点出现的次数与6点出现次数的协方差及相关系数.

【答案】记

则1点出现的次数从而有

欲求

, 故先求

. 由于

且因为和

均为仅取0, 1值的随机变量, 所以

由此得综上可得

X 与Y 负相关是可以理解的, 因为在掷n 次骰子中, 1点出现次数多必使6点出现次数少.

7． 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布，且标准差0.048, 从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为

问这一天纤度的总体标准差是否正常（取

）？

【答案】这是一个关于正态总体方差的双侧检验问题，待检验的原假设和备择假设分别为

此处n=5, 若取显著性水平查表知故拒绝域为

或

由样本数据可计算得到

因此拒绝，认为这一天纤度的总体标准差不正常.

6点出现的次数

（第i 次投掷

时, 不可能既出现1点、同时又出现6点）, 因此当i=j时, 有

而当

时, 由于

与相互独立, 所以