2017年华南师范大学数学科学学院813高等代数(数学)考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 已知L 是第一象限中从点（0, 0）沿圆周（0, 2）的曲线段，计算曲线积分
【答案】如图所示，设圆现补充有向线段
由格林公式得
又
所以
，圆
：y 轴（y 从2到0）. 由L 与
；再沿圆周到点（2, 0）.
围成的平面区域记为D ，则
到点
图
2． 判定下列曲线的凹凸性:
【答案】（1）（2）当当（3）（4）故曲线
时,
, 曲线
在
故曲线
令y”=0, 得x=0。
上是凸的。 上是凹的。
, 故曲线
在
时, y”>0, 曲线y=shx在,
内是凸的
内是凹的。 ,
内是凹的。
3． 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类。如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续:
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）对x=1，因为f （1）无定义，但
，重新定义函数:
所以x=l为第一类间断点（可去间断点）
则f l （x ）在x=1处连续。 因为
，所以x=2为第二类间断点（无穷间断点）.
，所以x=0为第一类间断点（可去间断
（2）对x=o，因为f （0）无定义，，重新定义函数:
点）
则f 2（x ）在（3）对x=0，因为（4）对x=1，因为
但不相等，所以x=1为第一类间断点（跳跃间断点）。
注：在讨论分段函数的连续性时，在函数的分段点处，必须分别考虑函数的左连续性和右连
处连续。 及
均不存在，所以x=0作为第二类间断点。
即左、右极限存在，
续性，只有函数在该点既左连续，又右连续，才能得出函数在该点连续。
4． 利用函数的微分代替函数的增量求的近似值。
【答案】利用
，取x=0.02，得
5． 设a ，b ，c 为单位向量，且满足a ＋b ＋c=0，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a.
【答案】已知∣a ∣=∣b ∣=∣c ∣=1，a ＋b ＋c=0，故（a ＋b ＋c ）（a ＋b ＋c ）=0.即
·
因此
6． 落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大率总是6m/s，问在2s 末扰动水面面积的增大率为多少?
2
【答案】设最外一圈波的半径为r=r（t ）。圆的面积S=S（t ）。在S=πr 两端分别对t 求导，
得
当t=2时，
代入上式得
7． 设
，
求【答案】
的图形如图所示。
并作出函数
的图形。
图
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