2018年华北水利水电大学数学与信息科学学院701数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
f
:
, 且存在正实数
与
利用不动点定理证明:在B 中有惟一的不动点. 【答案】因为
, 有
所以
, 即f
:
, 故由此可知f 在B 中有惟一的不动点.
2． 证明下列不等式:
（1）（3）
【答案】（1）因为续, 且不恒等于1或
, 所以由积分不等式
即
（2）因为在[0, 1]上, （3）由于在
上,
, 且函数不恒等于1和e , 所以有
, 所以有
（4）设大值点,
而可导函数惟一的极大值必为最大值, 所以又
从而
,
且, 由此得
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, 对一切
, .
满足
（2
）（4）（
, 函数
在
上连
,
则, 得f （X ）在[e, 4e]上惟一的驻点为. 可验证它是极
为函数f （x ）在[e, 4e]上的最大值,
, 故
在[e, 4e]上的最小值,
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二、解答题
3． 求出下列极限
, 并指出哪些是无穷小数列:
（1）
（2
） （3） （4） （5） （6） （7）
可得到以下结果:
中取中取中取中取中取中取中取
得得得得得得得
【答案】根据数列极限（1）在（2）在（3）在（4）在（5）在（6）在（7）在
其中（1）、（3）、（4）、（5）中的数列是无穷小数列.
4． 设有一半径为R 的球体, P 0是此球的表面上的一定点, 球体上任一点的密度与该点到P 0的距离的平方成正比（比例常数k>0）,
求球体的重心位置.
【答案】方法一
记所考虑的球体为, 以的球心为坐标原点O , 射线OP 0为x 轴的正向建立坐标系, 则P 0 点的坐标为（R , 0, 0）, 球面方程为
密度函数为
设重心坐标为
, 由对称性可知,
,
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而
故
因此球体
的重心位置为
.
方法二
选取
P 0为坐标系的原点,
球心坐标为（0, 0, R ）, 则球面方程为
而此时密度函数为
. , 由对称性知, 设重心坐标为
而
故
因此球体的重心坐标为
5． 应用分部积分法求下列不定积分:
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.