2017年湖南科技大学数学与计算科学学院832高等代数B考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
目录
2017年湖南科技大学数学与计算科学学院832高等代数B 考研导师圈点必考题汇编（一） ... 2 2017年湖南科技大学数学与计算科学学院832高等代数B 考研导师圈点必考题汇编（二） ... 7 2017年湖南科技大学数学与计算科学学院832高等代数B 考研导师圈点必考题汇编（三） . 16 2017年湖南科技大学数学与计算科学学院832高等代数B 考研导师圈点必考题汇编（四） . 28 2017年湖南科技大学数学与计算科学学院832高等代数B 考研导师圈点必考题汇编（五） . 34
第 1 页，共 41 页
一、计算题
1． 求力
【答案】
下面用两种方法来计算上面这个积分。
解法一:化为定积分直接计算。如图所示，由AB ，BC ，CA 三条有向线段组成，则
沿有向闭曲线
所作的功，其中为平面x+y+z=1被三个坐标面所截
成的三角形的整个边界，从z 轴正向看去，沿顺时针方向。
图
于是
因此
解法二：利用斯托克斯公式计算，取为平面任一点处的单位法向量为
第 2 页，共 41 页
的下侧被所围成的部分，则在
，由斯托克斯公式得
2． 过点
（
）分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问在它们上面且平行于z 轴的直线l 上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均
的点的坐标各有什么特点?
【答案】如图所示，过相同，纵坐标也均相同.
而过点
且平行于xOy 面的平面上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同
.
图
3． 已知△ABC 的顶点为A （3，2，﹣1），B （5，﹣4，7）和C （﹣1，l ，2），求从顶点C 所引中线的长度.
【答案】设AB 中点的坐标为
，由
从而顶点C 所引中线的长度
4． 求过点（3，0，﹣1）且与平面3x －7y ＋5z －12=0平行的平面方程.
【答案】所求平面与已知平面3x －7y ＋5z －12=0平行. 因此所求平面的法向量可取为n=（3，，设所求平面为 ﹣7，5）
3x －7y ＋5z ＋D=0 将点（3，0，﹣1）代入上式得D=﹣4. 故所求平面方程为 3x －7y ＋5z －4=0
第 3 页，共 41 页
5．
试证明方程误差不超过0.01。
【答案】设函数
在区间（-l , 0）内有惟一的实根, 并用切线法求这个根的近似值, 使
在
, 使
上连续, 且
, 即方程
在区间（-1, 0）内
,
, 在区间（-1, 0）内有惟一
由零点定理知至少存在一点至少有一实根。又即的实根。
现用切线法求这个实根的近似值: 由知取
, 利用递推公式
, 故函数f （x ）在[-1, 0]上单调增加, 从而方程
在（-1, 0）内至多有一个实根, 因此方程
, 得:
故使误差不超过0.01的根的近似值为
6． 设一圆锥形贮水池，深15米，口径20cm ，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？
【答案】以高度h 为积分变量，变化范围为[0, 15]，对该区间内任一小区间[h，h+dh]，体积为
，记γ为水的密度，则作功为
7． 交换下列二次积分的次序：
【答案】（1）所给的二次积分等于闭区域D 上的二重积分
，其中
，将D 表达式为
（图1）
则得
第 4 页，共 41 页