2017年湖南科技大学数学与计算科学学院832高等代数B考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 试证明方程误差不超过0.01。
【答案】设函数
由零点定理知至少存在一点至少有一实根。又即的实根。
现用切线法求这个实根的近似值: 由知取
, 利用递推公式
, 得:
在
, 使
上连续, 且
, 即方程
在区间（-1, 0）内
,
, 在区间（-1, 0）内有惟一
在区间（-l , 0）内有惟一的实根, 并用切线法求这个根的近似值, 使
, 故函数f （x ）在[-1, 0]上单调增加, 从而方程
在（-1, 0）内至多有一个实根, 因此方程
故使误差不超过0.01的根的近似值为
2． 己知均匀矩形板（面密度为常量
）的长和宽分别为b 和h ，计算此矩形板对于通过其形心
且分别与一边平行的两轴的转动惯量。
图
【答案】建立如图的坐标系，使原点o 为矩形板的形心，x 轴和y 轴分别平行于矩形的两边，则所求的转动惯量为
3． 已知F f x ）（x ）是（的一个原函数，而F （x ）是微分方程的解，试将f （x ）展开成x 的幂级数，并求
【答案】由当
时，
知由
，积分得
得
故
而
故
于是
4． 计算下列反三角函数值的近似值:
【答案】（1）由及取
得
（2）由及取
得
5．
设
的表达式：
【答案】
满足初始条件
的值。
C 为任意常数。
于是
写
出
及
注:
6． 求位于曲线
下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形面积。
x0x0
【答案】先求曲线过原点的切线方程，设切点为（，y 0）, 其中y 0=e，
则切线方程为
由于该切线过原点，因此有如图所示所求面积为
，解得x 0=1，y 0=e, 即切线方程为
图
7． 求圆盘
绕y 轴旋转而成的旋转体的体积。
绕y 轴旋转所得
绕y 轴旋转所得的立体，因此
8． 己知制作一个背包的成本为40元, 如果每一个背包的售出价为x 元,
售出的背包数由
给出, 其中a , b 为正常数。问什么样的售出价格能带来最大利润?
【答案】设利润函数为p （x ）, 则
令由
, 得
知
（元）
为极大值点, 又驻点惟一, 这极大值点就是最大值点, 即售出价格
【答案】这是一个圆环面，可以看作由图形的立体减去由图形
定在60元时能带来最大利润。
9． 计算星形线，
【答案】
的全长。