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一、计算题

1． 求下列数项级数的和:

【答案】（1）利用又其中故（2）因

故取x=1，有

于是

2． 设己知两点

【答案】向量

（4，

，1）和

（3，0，2），计算向量. 其方向余弦分别为

方向角分别为

取x=1, 有

的模、方向余弦和方向角.

，1），其模

=

=（3，﹣4，0，﹣，2，﹣1）=（﹣1，﹣

3． 求下列函数的最大值、最小值:

【答案】（l ）函数在令

, 得驻点

上可导, 且, 比较, 最小值为上可导, 且上可导, 且,

比较

,

得函数的最大值为

,

得函数的最大值为（2）函数在（3）函数在令最小值为

,

得驻点

4． 在R 、L 、C 含源串联电路中，电动势为E 的电源对电容器C 充电，已知

，L=0.1H（亨），R=1000Ω，试求合上开关K 后的电流i （t ）及电压u c （t ）（微法）。

【答案】由回路定律知件，

故微分方程

为

解得

因

可令

是原方程的特解，代入方程，得

代入初始条件，

有

即

又

代入初始条件故

有

即

已知

其对应的齐次方程的特征方程

为

即

即

且依题意，有初始条

故方程的通解为

5． 设在xOy 面上有一质量为M 的质量均匀的半圆形薄片，占有平面闭区域

，过圆心。垂直于薄片的直线上有一质量为m 的质点P ，OP=a。

求半圆形薄 片对质点P 的引力。

【答案】 积分区域

，于是

由于D 关于y 轴对称，且质量均匀分布，故F x =0。又薄片的面密度

所求引力为

6． 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解：

【答案】（1

）由

解得

故对应的齐次方程的通解为

因

不是特征方程的根，故可

设

是原方程的一个特解，代入方程，得

故原方程的通解为

且有代入初始条件

有