2017年湖南科技大学商学院832高等代数B考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 求下列函数的导数：
【答案】（1）（2）（3）
（4）
（5）先在等式两端分别取对数，得
，于是
2． 求抛物线
被圆
所截下的有限部分的弧长。
得到两曲线的交点为
3． 求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程:
（1）（2）
（其中C 为任意常数） （其中C 1.C 2为任意常数）
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，再在所得等式两端分别对x 求导，得
。
【答案】联立两曲线方程，因此所求弧长为
【答案】（1）将
22
入（z+C）+y=1中，得
两端关于x 求导，得
关于x 求二次导数，得
即有将其带
（2）将
把以上两式看成是以C 1与C 2为未知量的线性方程组，解得代入
得
即
4． 求出曲线
【答案】因为量可取为即
，解得
上的点，使在该点的切线平行于平面
，设所求点对应的参数为
。已知平面的法向量为
和
，于是所求点为
。
，
。
，于是曲线在该点处的切向
，由切线与平面平行，得
或
5． 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性：
【答案】设级数的部分和为S n 。 （1）因为
所以根据定义可知级数（2）由于
发散。
从而
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所以根据定义可知级数收敛。 （3）由于
从而
因为当（4）
6． 求曲线y=sinx往具有下列横坐标的谷点处切线的斜率:
【答案】由导数的几何意义知
7．
求函数
在曲线
上点
处，沿曲线在
。
时，
的极限不存在，所以S n 的极限不存在，即级数发散。
因
故级数发散。
该点的切线正方向（对应于t 增大的方向）的方向导数。
【答案】先求曲线在给定点的切线方向 因为
，所以曲线在点
。又
故
8． 求椭球面
【答案】
设
上平行于平面
。已知平面的法向量为
所求切平面平行，得
代入椭球面方程得
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处的切线的方向向量可取为
的切平面方程。
，
则曲面在点
处的一个法向量
，由已知平面与
，即
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