2017年湖南科技大学商学院832高等代数B考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求函数
设
故由莱布尼茨公式，得
2． 一曲线通过点
, 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程。
,
有
在x=0处的n 阶导数，则
。
【答案】本题可用布莱尼公式求解。
【答案】设曲线方程为y=f（x ）, 则点（x , y ）处的切线斜率为f’（x ）, 由条件得因此f （x
）为的一个原函数,
故有3, 解得C=1, 即得所求曲线方程为
3． 说明下列旋转曲面是怎样形成的：
【答案】
的旋转曲面，或表示xOz 面上的椭圆
表示xOy 面上的双曲线
面，或表示yOz 面上的双曲线
表示xOy 面上的椭圆
, 根据条件曲线过点
绕x 轴旋转一周而生成
绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面
.
绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲
绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面
.
绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲
表示xOy 面上双曲线
面，或表示xOz 面上双曲线
绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面
表示xOz 面上直线z=x+a或z=﹣x+a绕z 轴旋转一周而生成的旋
转曲面，或表示yOz 面上的直线z=y+a或z=﹣y+a绕z 轴旋转一周而生成的旋转曲面.
4． 求函数
【答案】
在点
的泰勒公式。
函数为2次多项式，三阶及三阶以上的各偏导数均为零。又
将以上各项代入泰勒公式，便得
5． 求球面
含在圆柱面
内部的那部分面积。
。
【答案】如图所示，上半球面的方程为
由曲面的对称性得所求面积为
图
6． 溶液自深18 cm 顶直径12 cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中。开始时漏斗中盛满了溶液. 已知当溶液在漏斗中深为12cm 时，其表面下降的速率为1 cm/min，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?
，圆柱形筒中水深为h=h（t ）【答案】如图，设在t 时刻漏斗中的水深为H=H（t ）。
建立h 与H 之间内的关系：
又
即
，即
，故
，
上式两端分别对t 求导，得
当H=12时，
，此时
7． 在y 轴上求与点A （l ，﹣3，7）和点B （5，7，﹣5）等距离的点.
，由
【答案】根据题意，设所求点为M （0，y ，0）
得y=2.故所求点M （0, 2, 0）.
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