2017年首都师范大学计算数学概率论与数理统计应用数学数学与信息技术(一)之高等代数考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
证明:
作成
是数域K 上n 元多项式空间，m 是正整数且
的子空间且则必
从而
的
一基，又因为
是n 维子空间.
的维数n 同正整数m 无关，故
在K 上线性无关.
又显然
中每个多项式都可由
线性表示. 因此
，
其中m ，s 都是正整数.
为其一基：因为若
【答案】
是子空间显然. 下证
是n 维子空间，且
2． 证明埃尔米特矩阵的特征值是实数，并且它的属于不同特征值的特征向量相互正交.
【答案】设A 是一个埃尔米特矩阵，
是A 的一个特征值. 于是有非零向量
满足
令
其中（i=l, 2，…，n ）是的共辄复数.
故有于是
上式左边为
右边为
因为
的特征值，
因此
于是
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即是一个实数.
再设是A 的一个不等于是A 的一个属于的特征向量，
因为A 是埃尔米特矩阵，所以因为
所以
即
又有
正交. 也就是说明埃尔米特矩阵的属于不同特征值的特征向量
相互正交.
3． 设a 为一复数，且是数域F 上非零多项式
【答案】在W 中存在多项式
在数域F 上不可约. 答:显然
即可.
这里
不可约，
则至少有一个
以a 为根. 取
即
可.
4． 算出行列式
如g （x ）不可约，取
使得对任一
的根，令
都有
且
如g （x ）可约，令其在F 上的标准分解式为
（1）
（2）
的全部代数余子式. 【答案】⑴
（2）
5． 设一组基.
【答案】由线性 表示. 反证，若
两边平方，得
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，则V 是有理数域Q 上的线性空间，求V 的维数和
则1线性无关. 显然
不能用1线性表示，故1, 线性无关. 下证
不能用
由
是无理数知
矛
若
则
于是矛盾，
故. 代人式（6-6
）立知
盾. 这就证明了不能用1, 线性表示，故1, . _线性无关.
是V 的基，其维数为S.
显然V 中的每一向量都可以用1，线性表示，故1，
6． 设A 与B 是数域P 上的n 级矩阵，且AB=BA, 证明：
【答案】因为
而AB=BA，所以有
故有
即
7． 设A , B分别是nxm ，mxn 矩阵，n 维向量X 满足
求解
【答案】则
将之扩充成W 的基
下面证明
是V 的基. 事实上：两边右乘A , 得
故（6-15）是V 的生成元. 设
则
由（6-13）是
的基，可设
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令
取W 。的基
由（6-14）是W 的基，可设
于是