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一、证明题

1． 若

【答案】由

试证：

得

所以得

即

所以

即

由此得

即

2． 同时掷5枚骰子，试证明：

（1）P （每枚都不一样）=0.0926； （2）P （一对）=0.4630； （3）P （两对）=0.2315； （4）P （三枚一样）=0_1543； （5）P （四枚一样）=0.0193； （6）P （五枚一样）=0.0008. 【答案】同时掷5枚骰子共有（1）

2枚组成“一对”，共有以

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个样本点，这是分母，以下分别求之.

（2）这里“一对”是指这一对以外的3枚骰子中不成对且不全相同，所以先从5枚骰子中任取

种取法，然后这“一对”骰子与剩下的3枚骰子出现的点数都不一样，所

（3）先将5枚骰子分成三组，其中二组各有2枚殷子，另外一组只有一枚殷子，又考虑到各有2枚骰子的二组内是不用考虑顺序的，所以5枚骰子分成三组共有而这三组骰子出现的点数都不一样有

种可能，所以所求概率为

（4）这里“三枚一样”是指这三枚以外的2枚骰子不成对，所以先从5枚骰子中任取3枚组成一组，共有（53）种取法，然后这一组骰子与剩下的2枚骰子出现的点数不一样，所以

（5）先从5枚骰子中任取4枚组成一组，然后这一组骰子与剩下的一枚骰子各取不同的数，由此得

（6）五枚骰子出现的点数全部一样共有6种情况，所以

3． 设随机变量序列证:

【答案】这时

4． [1]如果

试证: （1）（2）[2]如果

【答案】（1

）因为

时

即

（2）先证

明

成立, 进一步由

. 对任意

的

成立, 对取定的M , 存在N , 当

这时有

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种分法，

独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且试

由辛钦大数定律知结论成立.

仍为独立同分布, 且

是直线上的连续函数, 试证:

,

可得

所以又有

取M 足够大（譬

如

时, 有

成立. ）, 使

有

,

故当

有

从而有

由即[2]若对任意的

的任意性知

成立.

是m 次多项式函数, 即

取M 充分大,

使有于是有

对取定的M ,

因为

是连续函数,

所以可以用多项式函数去逼近

, 使得

当

所以存在

因为

并且在任意有限区

时,

有使当

间上还可以是一致的, 因而存在m 次多项

式

对取定的m 次多项式

时, 有

当又因为

且

所以

从而有

由

5． 设由

的任意性即知

, 结论得证.

可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证

时, 有

又因为

则由题[1]知有

,

又选取

下证一般情况,

充分大,

使当

时,

有

同理可证

由上面（1）得

明：样本相关系数r 满足如下关系

上式也称为回归方程的决定系数.

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