2017年兰州交通大学数理学院818概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】若
, 证明:
服从贝塔分布, 并指出其参数.
, 则X 的密度函数为
由
在
上是严格单调增函数, 其反函数
为
Z 的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
2 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:（0, 1）．相互独立.
【答案】设
则
所以
•由此得
和V=X/Y的联合密度为
所以 3． 设计.
【答案】由于
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可分离变量, 即U 与V 相互独立. 独立同分布，
，证明：
是的相合估
这就证明了
4． 设总体为如下离散型分布
表
是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（（2）以必有
于是, 对任一组并
满足
中有个
有
表示
【答案】（1）给定（
）是充分统计量；
中等于的个数, 证明（
）的取值
设
）是充分统计量.
中有个
可以为0, 但
，是的相合估计.
该条件分布不依赖于未知参数, 因而次序统计量（（2）因为给出（这只要通过令即可实现（这里默认因此,
是充分统计量.
列联表：
1与
,
）,
是一一对应的,
）就可算得（
, 反之, 给出）
,
,
也可构造出（
, ）
）是充分统计量.
5． 设按有无特性A 与B 将n 个样品分成四类，组成
表
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其中n=a+b+c+d，试证明此列联表独立性检验的统计量可以表示成
【答案】检验的假设问题为
与B 是独立的. 统计表示如下：
进而得到
因而检验统计量为
在原假设成立下，我们计算诸参数的最大似然估计，为
证明完成.
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