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一、简答题

1． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。

选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：

2． 简述波函数的统计解释。

圆偏光选择定则：

【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

二、综合分析题

3． 令【答案】

当如果令

上式两边同时乘以

4． 设算符

得到

得证。

时，

所以有：

则:

即是泡利算符，证明以下两式成立：

和

求A 的本征值和本征函数。

则

解久期方程：

【答案】设的本征值为m , 本征函数

可得：当本征值

或

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时，

可得

又则有：

当本征值

则有：

时，

所以本征函数为可得

又

所以本征函数为

5． 质量为的粒子在有限深势井中运动，自己写出一个有限深势场的形式，相应的哈密顿量以及波函数满足的边值关系。 【答案】

相应的哈密顿量为：

设

区域波函数为

区域的波函数为

区域的波函数为则波函

数满足的边值关系为：

6． 对于核电荷为Ze 的类氢原子，计算处于束缚态值

【答案】类氢原子的哈密顿量为：

在态

中，相应的能量本征值为：

（1）由位力定理可得：

于是有：

（2）当把角动量部分分离后，类氢原子的的等效—维哈氏量为：

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中电子位置矢径函数和的期望

利用Feynman-Hellmann 定理，可得：

所以有：

（3）对一维等效定态方程：

两边求导

得：

两边作用以

利用关系

可得：

所以有：

7． —量子系统某一个定态的跃迁几率为：

其中，

是系统从

能级跃迁到

能级的玻尔频率，

其中

，[已知系统能量本征值

和相应的本征函数

假设系统在t=0时刻处于

跃迁到

并开始引入一个微弱的外场试证明系统在外场的作用下从定态

【答案】体系的哈密顿算符为系统的薛定谔方程为：

令方程

的解为：

将

代入得：

上式两边左乘

并积分，利用正交性，并令

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于是有：