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一、简答题

1． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为

测不准关系为

2． 非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。

【答案】（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。

（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量换为算符数。

（3）将体系的状态波函数

用算符的本征函数展开：

则在

盔中测量力学量得到结果为

（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程

其中是体系的哈密顿算符。

的几率是

得到结果在

范围内的几率是

得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函

（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 以上选三个作为答案。

二、综合分析题

3． 对一维线性谐振子的本征态，分别计算

并验证测不准关系。

故：

【答案】利用位力定理，可以得到，对于谐振子势中的粒子，有

因为

所以：

于是有：

所以基态满足测不准关系的最小值为：

4． 证明, （1）若力学量算符（2）若

有共同本征函数，则

有共同本征函数，记为

的本征值都没有简并）。

则:

而任意波函数总可展开为

的组合

则有：

任意，故

（2）若方程：由

有：

上式表明

是算符

的属于本征值的本征函数，由于

没有简并

描述体系的

对易，且

即

的本征值都没有简并，先设

有完备的本征函数系

满足本征

对易，则它们有共同本征函数系（假设

【答案】（1

）若力学量算符

同一状态，两者只能相差一个常数因子，记这一因子为

这是算符的本征值方程，

即

也是的本征函数。

综上，

有共同的本征函数集

5． 由角动量算符可定义出两个新算符（1）分别求下列算符间的对易关系：（2）已知证明

【答案】

和

结果的物理意义。

得：

即

试通过计算：（a ）

的共同本征态，相应的本征值分别为均为

的的本征态；（b ）相应的本征值为多少？（c ）简要说明

（2）

可见

均为

的本征函数。

其中，C 为常数，

分别是粒子1

相应的本征值为

物理意义：升降磁量子数，或使角动量的Z 分量增加/减少

6． 设两个自旋为粒子构成的体系，哈密顿量

向，求t ＞0时测量粒子1的自旋处于z 轴负方向的几率。 【答案】体系的哈密顿算符为：

和粒子2的自旋算符。已知t=0时，粒子1的自旋沿z 轴的负方向，粒子2的自旋沿z 轴的正方

选择耦合表象，由于s=0，1，故四个基底为：

在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即：

可以直接写出它的解为：

已知t=0时，体系处于的波函数为：

粒子1处于z 轴负方向的几率为：

因为哈密顿算符不显含时间，故t ＞0时刻