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2018年鲁东大学物理与光电工程学院813量子力学考研核心题库

  摘要

一、选择题

1. 下面关于厄米算符的定义式中. 正确的为( )

.

【答案】A

【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符,这是因为力学量算符的本征值必须为实数. 厄米算符定义式为

2. 角动量算符满足的对易关系为【答案】

3. 如果算符表示力学量应的_____。

【答案】确定值;本征值

4. 量子谐振子的能量是( )

.

【答案】A

【解析】

由于谐振子的哈密顿算符为

5. 设粒子处于态系数的取值为_____【答案】

的可能值为_____

为归一化波函数的平均值为_____。

为归一化的球谐函数,则

本征值为n ,

于是谐振子能量为

那么当体系处于

的本征态时,力学量F 有_____。这个值就是相

_____,坐标和动量

的对易关系是_____。

6. 考虑个无相互作用的玻色子处在一维无限深势阱中,粒子质量为

势阱范围为

则体系的基态能量是( )。

【答案】E

二、简答题

7. 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质?

【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符,因而具有所有厄米算符的性质.

量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的,比如,力学量的平均值为实数,因而对求平均值的式子求共轭后,其值应该不变,而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.

8. 扼要说明:

(1)束缚定态的主要性质。

(2)单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

【答案】(1)能量有确定值。力学量(不显含f )的可能测值及概率不随时间改变。 (2)选择定则:

理论根据:电矩m 矩阵元

9. 什么样的状态是定态,其性质是什么?

【答案】定态是能量取确定值的状态,其性质:定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变

10.波函数是用来描述什么的?它应该满足什么样的自然条件?么?

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数,除了应满足平方可积的条件之外,它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近体积元中粒子出现的几率密度。

11.假设体系的哈密顿算符不显含时间,而且可以分为两部分:一部分是它的本征值(非简并)和本征函数

已知:另一部分

很小,可以看作是加于

上的微扰. 写出在非简并

状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】

一级修正波函数为

的物理含义是什

二级近似能量为

其中

12.分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态?

【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时,波函数趋向零,称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态,则称该本征值是简并的,所对应的本征态即为简并态,本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号,若新波函数与原波函数相差一个负号,则称其为负宇称态。

13.量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符?

【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数,而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符,因此这要求可观测量算符应为厄米算符。

14.波函数是否描述同一状态?

【答案】

与描写的相对概率分布完全相同,描写的是同一状态。

15.试设计一实验,从实验角度证明电子具有自旋,并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场,则电子在磁场方向上有上下两取向,再让电磁通过一非均匀磁场,则电子分为两束。

16.写出泡利矩阵。 【答案】

三、证明题

17.证明,

【答案】因为

可得:

18.处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式:

其中,m 是电子质量,

为电子动量算符,算符定义为

且和B 都