2018年吉林师范大学数学学院829数学分析二[专业学位]考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若f 在[a, b]上可积, 则f 在[a, b]内必定有无限多个处处稠密的连续点, 这可用区间套方法按以下顺序逐一证明:
（1）若T 是[a, b]的一个分割, 使得（2）存在区间（3）存在区间
,
使得, 使得
使得
说明
为一区间套, 从而存在
:而且, 在点连续. , 存在[a, b]的分割
使
（5）上面求得的f 的连续点在[a, b]上处处稠密. 【答案】因为f （x ）在[a, b]可积, 所以对于由此易知:在T 1的某个小区间导致
, 这与式（*）矛盾. 现取
, 满足
的某一小区间的子区间
依次做下去, 得一区间套
故由闭区间套定理, 存在下证
f x ）为（的一个连续点:任给
. 故当
现在, 任给在
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, 则在T 中存在某个小区间
使
（4）继续以上方法, 求出一区间序列
（*）
, f （x ）的振幅
. 如若不然, 将
以足
代替[a, b],
对于,
同样存在
及属于满
存在n , 使, f （x ）
在
, 令
上也可积, 从而由上面已证的结果, f （x ）
’则
且
时
,
, 有
内连续, 故f （x ）的连续点在[a, b]内处处稠密.
2． 按
（1）（2）
（3）
（4）（5）
【答案】（1）由于
故对任意的（2）不妨设
只要取. 则
对任意的
只要取
则当
时, 有
（3）
由于
对任意的（4）由于
只要取
则当
对于任意的
时, 有只要取
, 故则当
（5）因为
令
由
得
对于任给
取
则当
故
3． 证明:若数列
（1）（2）
满足下列条件之一, 则
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定义证明:
, 则当时, 这就证明了:
. 时
时, 有
是无穷大数列:
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【答案】（1）因为时,
, 令, 所以对于
, 存在正整数N , 使得当n>N
于是
由此得, 当n>N时,
由（2）因为
在正整数N , 使得当n>N时,
知
是无穷大数列, 所以
, 设r 是一个满足不等式
于是, 当n>N时,
因为r>1, 所以
是无穷大数列. 因此,
是无穷大数列, 即
是无穷大数列.
.. ,
4． [1]设函数f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可微, 又f （x ）不是线性函数. 证明:使
[2]
设f （x ）在[0, 1]上可导, 且内存在一组互不相等的数
使得
为n 个正数. 证明在区间[0, 1]也是无穷大数列.
的实数, 由数列极限的保号性知, 存
【答案】过点（a , f （a ））与（b , f （b ））的直线方程为
9
=f=f. 由于f , g 显然, g （a ）（a ）
（
b ）（b ）（x ）不是线性函数, 故存在点不妨设
, 则有
由拉格朗日中值定理,
时, 有
, 使
[2]用上例的思路来证明之. 令
以及
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, 使.
和, 使
, 取, 取
; .
当
于是, 总存在
当f （a ）>f（b ）时, 有