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一、证明题

1． 设定义在R 上的函数f 在0、1两点连续, 且对任何

【答案】由

有

. 证明f 为常量函数.

, 所以

因为f 在x=1连续, 所以当

时,

而当

时,

, 又

故f 为常量函数.

2． f （x ）在R 上二次可导, 证明: f（x ）在R 上恰有两个零点.

【答案】先证当因为

所以, 当x 的绝对值足够的大的时候, 不妨设当当同理, 当由又由于

时,

时, 的时候, 可知

先单调减少, 再单调递增.

在

各有一个零点.

的时候,

知f （x ）是偶函数. 因为

为递增函数。所以

根据连续函数的零点存在定理知,

3． 己知在[a, b]上，函数列f n （x ）一致收敛于f n （x ），函数列g n （x ） 一致收敛于g （x ）.

证明：函数列【答案】由

，

一致收敛于

.

在I 上分别一致收敛于f （X ），g （x ）, 可得

在I 上分别一致收敛于

又

故

在I 上一致收敛于

4． 设f （x

）在

【答案】令由于

上可微, 且

, 则

, 因此g （x ）为, 从而可知g （X ）=0, 即

证明:在上f （x ）=0. .

上的单调递减函数, 所以

.

二、解答题

5． 计算下列积分:

【答案】（1）令x=1—t , 则dx=—dt , 代入原积分, 有

所以

（用了欧拉积分

故

（2）

）

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对上式右端第一个积分作变换:x=1+t, 则

于是有

6． 判别下列级数的敛散性:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）

（

7

）【答案】（1）（

2）因为而级数（3）因为

所以（4）因为

所以（5）因为

收敛. 收敛.

所以级数

, 又因为

收敛, 所以级数

收敛.

发散

.