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一、证明题

1． 设

是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，

（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是

的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为

由此可见（2）

是的无偏估计.

是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为

由此可见

（3）反证法，倘若

是p （1-p ）的一个无偏估计.

是1/p的无偏估计，则有

或者

上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在.

2． 验证：泊松分布的均值λ的共轭先验分布是伽玛分布.

【答案】

泊松分布的概率函数为数为

对来自泊松分布

的样本

的后验分布为

若的先验分布为伽玛分布，其密度函

即的后验分布为共轭先验分布.

3． 设是来自均匀分布数为

其中

仍为伽玛分布，这说明伽玛分布是泊松分布的均值的

的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.

（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布； （2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须

与

的联合分布为

所以的后验分布为

要使

与

这是一个参数为

与

的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.

（2）若选用后验期望估计，则

4． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明

：

【答案】

5． 若

【答案】由

试证：

得

所以得

即

所以

即

由此得

即

6． 设P （A ）>0，试证：

【答案】因为

所以

7． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=

不相关但不独立. 【答案】因为

与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得

所以X 与

不独立.

8． 同时掷5枚骰子，试证明：

（1）P （每枚都不一样）=0.0926； （2）P （一对）=0.4630； （3）P （两对）=0.2315；

证明:X 与不相关. 为证明X

所以这表明:X 与

现考查如下特定事件的概率