当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明:（1）

【答案】（1）当

时,

（2）

. 当

时, 令|

则

可知（2）当

时

于是, 当

故

时

当

时,

而

故由迫敛性知

2． 设n 为正整数, x , y>0, 用条件极值方法证明:

【答案】先求设令

解得

由于当

即 3． 设

在

上单调增加,

不成立, 那么显然则对

存在

使得

证明:

.

由于

与单调性矛盾, 因此假设不成立.

显然M 是非空的, 下证

【答案】设用反证法, 假设不妨设

是连续函数, 则对于任意的

于是

第 2 页，共 29 页

在条件x+y=a下的最小值.

或. 时, F 都趋于

所以

, 故F 必在惟一稳定点

, 故

处有最小值,

成立.

即证得

4． 设函数f 在[a, b]上有定义, 且对于任给的

使得

证明f 在[a, b]上可积. 【答案】因为, 存

在相应的分割T , 使得

, 因此

这里

存在[a, b]上的可积函数g ,

又因为函数g （x ）在[a, b]上可积,

所以对任给的表示函数g （x ）在相应小区间上的振幅. 所以

而

, 故

即f 在

上可积.

二、解答题

5． 试写出单位正方体为积分区域时, 柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.

【答案】在柱面坐标系下, 用z=c的平面截立方体, 截口是正方形, 因此, 单位立方体可表示为

在球面坐标系下, 用

的平面截立方体, 截口是长方形, 因此单位立方体可表示为

和

和

其中

6． 求下列函数的高阶微分:

（1）设

,

求

第 3 页，共 29 页

.

（2）设【答案】（1）

, , 求

（2）

第 4 页，共 29 页