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一、计算题

1． 设随机变量X , Y 独立同分布, 在以下情况下求随机变量

（1）X 服从p=0.5的（0-1）分布• （2）X 服从几何分布, 即

【答案】（1）因为X 与Y 的可能取值均为0或1, 所以1, 因此

（2）因为X 服从几何分布, 所以由此得

2． 甲口袋有1个黑球、2个白球，乙口袋有3个白球. 每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋. 求交换n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率.

【答案】设事件且

所以由全概率公式得

得递推公式

将

代入上式可得

由此得

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的分布列.

的可能取值也为0或

为“第i 次交换后黑球仍在甲口袋中”，记

则有

3． 设a 为区间（0, 1）上的一个定点, 随机变量X 服从区间（0, 1）上的均匀分布. 以Y 表示点X 到a 的距离. 问a 为何值时X 与Y 不相关.

【答案】由题设条件知

所以由此方程等价于

从中解得在（0, 1）内的实根为a=0.5, 即a=0.5时, X 与Y 不相关.

4． 请叙述下列事件的对立事件：

（1）A=“掷两枚硬币，皆为正面”； （2）B=“射击三次，皆命中目标”； （3）C=“加工四个零件，至少有一个合格品 【答案】（1）（2）（3）

“掷两枚硬币，至少有一反面

“射击三次，至少有一次不命中目标 “加工四个零件，全为不合格品

可得方程

又因为

5． 甲、乙两个赌徒在每一局获胜的概率都是1/2.两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本. 但赌博在中途被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本：

（1）甲、乙两个赌徒都各需赢k 局才能获胜；

（2）甲赌徒还需赢2局才能获胜，乙赌徒还需赢3局才能获胜； （3）甲赌徒还需赢n 局才能获胜，乙赌徒还需赢m 局才能获胜. 【答案】按甲、乙最终获胜的概率大小来分赌本.

（1）在这种情况下，甲、乙两人所处地位是对称的，因此甲、乙最终获胜的概率都是1/2，所以甲得全部赌本的1/2，乙得全部赌本的1/2.

（2）最多再赌4局必分胜负，若以事件表示再赌下去的第i 局中甲赢，i=l，2，3，4，则

所以甲得全部赌本的11/16，乙得全部赌本的5/16. （3）再赌n+m-1局必分胜负，共有此n+m-1局中至多赢m —1局，

这共有

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种等可能的情况，而“甲最终获胜”意味着：乙在

种等可能的情况，若记

则

所以甲得全部赌本的

乙得全部赌本的

6． 一个电子设备含有两个主要元件, 分别以X 和Y 表示这两个主要元件的寿命（单位:h ）. 若设其联合分布函数为

试求这两个元件的寿命都超过120h 的概率. 【答案】所求概率为

这表明:两个主要元件的寿命都超过

的概率为0.0907.

7． 某建筑工地每天发生事故数的现场记录如下：

表

1

试在显著性水平

下检验这批数据是否服从泊松分布.

【答案】本题与上题完全类似，仍为检验总体是否服从泊松分布的分布拟合检验问题. 由于有几类的观测个数偏少，为使用近似分布，需要把后面四类合并为一类. 于是我们把总体分成4类，在原假设下，每类出现的概率为：

未知参数采用最大似然估计得：

将代入可以估计出诸

于是可计算出检验核计量

表2

如下表：

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