2017年郑州大学联合培养单位黄淮学院915高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深h 处，设a>b，液体的密度为ρ，试求薄板每面所受的压力。
【答案】如图，记x 为薄板上点到进水面的长边的距离，取x 为积分变量，则x 的变化范围为[0, 6]，对应小区间[x，x+dx]，压强为
，面积为adx ，因此压力为
图
2． 利用极坐标计算下列各题:
（1）（2）内的闭区域;
（3
）
，其中D 是由圆
周
所围成的在第一象限内的闭区域。
【答案】（1）在极坐标系中，积分区域
，于是
（2）在极坐标系中，积分区域
，于是
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，其中D 是由圆周
，其中D 是由圆周
所围成的闭区域;
及坐标轴所围成的在第一象限
及直
线
（3）在极坐标系中，积分区域
，于是
3
3． 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中，其速率为4 m/min。当水深为5m 时，其表面上升的速率为多少?
图
，水的容积为V （t ），【答案】如图所示，设在t 时刻容器中的水深为h （t ）即即故
2
4． 在抛物线y=x上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点，作过这两点的割线. 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线?
【答案】割线的斜率
2
，
即2x 0=4， 故x 0=2，
假设抛物线上点（x 0，x 0）处的切线平行于该割线，则有
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由此得所求点为（2，4）。
5． 求抛物线的渐曲线方程。
【答案】由
, 及
, 知
故抛物线少=2Px的渐屈线方程为
其中y 为参数。或消去参数y 得渐屈线方程为
6． 设数列
满足条件：
=3，
=1，
.S （x ）是幂级数
（1）证明：
（2）求S （x ）的表达式.
【答案】（1）由已知条件，可计算得
所以，因为S （x ）
=
因为
，所以
所以和－1，通解为
因为
解得
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的收敛半径为+∞.
，所以
的特征方程为
，计算得特征根为1
（2）由题意知，齐次微分方程
，所以
=2，=1，所以.
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