2017年江西农业大学食品科学与工程学院701数学之概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为独立同分布的随机变量序列, 方差存在, 令
, 证明:则
服从大数定律.
对任意的
因而
证明有
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
证明:X 与不相关. 为证明X
2． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=
不相关但不独立. 【答案】因为
与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得
所以X 与
不独立.
,
样本方差分别为
3． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为
, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为
【答案】设取自同一总体的两个样本为由
得
又设, 有
为一列常数, 如果存在
常数c>0, 使得对一切n 有
【答案】不妨设
所以这表明:X 与
现考查如下特定事件的概率
证明:
由
得
4． 设
为来自指数分布
的样本，
为来自指数分布
的样本，且两组
样本独立，其中
（1）求假设
是未知的正参数.
的似然比检验；
（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量
在原假设成立下的分布.
【答案】样本的联合密度函数为
参数空间分别为
下参数的最大似然估计
为
则似然比统计量为
而
在
由微分法容易求出在
下参数的最大似然估计
为
由求导可知，函数为
或者
这就证明了（2）的结论.
为先减后増的单峰函数，故此似然比检验拒绝域可等价写
注意到指数分布、伽玛分布与卡方分布间的关系，可得
再注意到
诸
5． 设总体
【答案】由于总体均方误差为
将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当
时，
最小. 且
这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.
6． 证明公式
其中
与
诸
是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合
下存在优于的估计. 现考虑形如
的估计类，其
所以
间的独立性，在原假
设
成立下，有如下抽样分布
：
估计和无偏估计，试证明在均方误差准则
【答案】为证明此公式, 可以对积分部分施行分部积分法, 更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导, 证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出_
而对
k=0.
对
其和前后项之间正好相互抵消, 最后仅留下一项,
也为明了两者导函数相等, 并注意到两者在p=l时都为0, 等式得证.
7． 设是来自两参数指数分布
的样本, 证明（
）是充分统计量.
这就证
【答案】由已知, 样本联合密度函数为