2018年哈尔滨商业大学生命科学与环境科学研究中心601自命题理学数学之工程数学-线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
（Ⅱ
）
2．
已知
且
.
求
又
又
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知的基础解系，
即为
的特征向量
故
【答案】
由题意知
得
故
知
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知
即
3
． 设三阶方阵
A 、
B
满足式
的值.
其中E
为三阶单位矩阵. 若
求行列
【答案】由矩阵知则.
可
逆
.
又故
即
所以
即而
故
4． 设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令即
取.
进而解得的另一解为则有.
的基础解系为：
方阵B
满足题意.
令
二、计算题
5． 设3阶对称阵A 的特征值为与特征值A.
【答案】方法一：（1）求矩阵A 的对应于特征值由对称阵特征向量的性质知，
与和
都正交，即有
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页
对应的特征向量为的两个线性无关的特征向量
求
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其系数矩阵的秩等于1. 于是
，是它的一个基础解系，取其为
（2
）把向量组用施密特方法正交化，得
（3
）分别把向量令
，单位化，得
于是
则Q 为正交矩阵，
并有
方法二：因A 是对称阵. 故必存在正交阵Q ，使也即
（1）并且，若Q
按列分块为
则向量
是对应于特征值
位特征向量. 于是，由题设
由⑴式得
的单
于是
6．
求一个正交变换把二次曲面的方程
【答案】记二次曲面为f=l, 则f 为二次型，它的矩阵为
由
所以A
的特征值为对应于
解方程Ax=0, 由
化成标准方程.
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