2018年海南大学海洋学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
2．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
则
即A
相似于矩阵
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
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知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
3． 已知A
是矩阵，齐次方程组
的基础解系是次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
由
的解.
对
得到
所以矩阵
的基础解系为
则既可由
对
作初等行变换，有
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
4．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
的基础解系.
其中t 为任意常数.
与
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
又知齐
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
线性表出，
故可设
于是
线性表出，也可
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
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当a=-1
及a=0
时，方程组均有无穷多解。 当
a=-l时
，
则当g=0时，则值的特征向量.
由
知
线性相关
，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ）
知
的基础解系，
即为
的特征向量
二、计算题
5．
已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求
【答案】由特征值性质得A 的特征值时，阶方阵，
故
6． 设
【
，（k 为正整数），证明E-A 可逆，并且其逆矩阵
答
案
】
则知E-A 可逆，且其逆矩阵
7． 设A 为列满秩矩阵，AB=C, 证明方程Bx=0与Cx=0同解.
【答案】若x 满足Bx=0, 则ABx=0,
即Cx=0.
若x 满足Cx=0,
即ABx=0
, 因A 为列满秩矩阵，
知方程Ay=0只有零解，
故Bx=0.
综上即知方程Bx=0与Cx=0
同解.
8． 设
n 阶矩阵A
的伴随阵为
（1）若（2）【答案】⑴因要证
用反证法：设则
当
时，上式成为
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，
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知
A
可逆，并且
因为当
为
知
-1
，5, -5是B 的特征值
.
注意到B 为3
是B 的特征值. 分别取
由
证明：
是可逆矩阵，用
左乘上
由矩阵可逆的充要条件知.