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一、计算题

1． 图1所示单摆AB 长1, 已知点A 在固定点O 的附近沿水平作微幅谐振动:a 与p 为常数. 设初瞬时摆静止, 求摆的相对运动规律

.

其中

图1

【答案】摆的相对运动可用单摆与竖直方向夹角表示, 在点A 上建立动坐标系. 运动和受力分析如图2所示

.

图2

动系做平动, 所以动系的加速度为:

设单摆上小球的质量为m , 则

根据小球的运动, 列非惯性系中的动力学方程:

沿与摆杆垂直的方向投影得:

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其中当摆角很小时, 近似有

所以上式可化简为:

整理得:

将其积分, 并带入初始条件

得:

2． 图1所示均质杆AB 长为1, 质量m , 其两端销子可分别在水平槽、铅垂槽中滑动, 问, 弹簧刚度系数为多大时, 振动才可能发生

.

为静平

衡位置. 不计销子质量和摩擦, 如水平槽内两弹簧刚度系数皆为k , 求系统微幅振动的固有频率. 又

图1

【答案】

图2

选取角为广义坐标, 设

时, 系统的势能V=0

微幅振动时,

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在杆运动过程中与竖直方向夹角为时, 系统的势能为:

势能可表示为:

设杆AB 的速度瞬心为P. 系统的动能为:

其中, 所以

由已知条件可知, 运动过程中机械能守恒, T+V=常量 所以得到:

化简后得:

能发生振动的条件是:此时振动的固有频率是:

3． 图1所示位于铅垂面内的行星机构中, 小轮A 是质量为m 、半径为r 的均质圆盘, 轮沿大轮只滚不滑且由螺线弹簧与系杆为多大？（2）若令

相连. 不计

小

的质量和各处摩擦, 当小轮位于图示的最

即

高位置时, 弹簧无变形. 求（为保持小轮在图示位置的稳定平衡, 螺线弹簧刚度系数k 的最小值:1）

该系统在图示位置作微幅振动的固有频率为多大？

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