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一、计算题

1． 设总体X 的密度函数为为取自X 的样本. 试求

, 其中

为未知参数,

的最大似然估计量和矩估计量.

【答案】由于似然函数为:

于是

由②可知,

关于单调增加, 即

.

. 令

.

关于单调增加, 又

①

②

,

故的最大似然估计为另外, 由①式得,

即得的最大似然估计量为因为

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于是令

即

解得故与的矩估计值为

2． 设a 为区间

上的一个定点，随机变量X 服从区间上的均匀分布. 以Y 表示点X

到a 的距离. 问a 为何值时X 与Y 不相关.

【答案】由题设条件知

又因为

所以由此方程等价于

从中解得在

内的实根为

即

时，X 与Y 不相关.

.

，所以

可得方程

3． 若事件A 与B 相互独立且互不相容，试求

【答案】由条件知

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4． 设随机变量X 的概率密度为令

, 为二维随机变量

（X , Y ）的分布函数, 求

（1）Y 的概率密度（2

）（3）

；

；

【答案】 （1）设Y 的分布函数为当当当当

时, 时, 时, 时,

；

； ；

综上所述, 有

于是Y 的概率密度

（2）

;

;

代入计算公式得到

（3）根据二维随机变量的定义, 有

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, 需要计算

.