2017年暨南大学量子力学,固体物理,热力学与统计物理之量子力学考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设氢原子处于状态：
（a ）测得该原子的能量的可能值为多少? 相应的概率又为多少？
（b ）测得的角动量分量的可能值和相应概率为多少?[湖南大学2009研] 【答案】（a ）氢原子能级
对应概率为：
对应概率为：
（b ）由题意，m=l, ﹣1，0
而可能取值为故
可能取值有
对应概率
对应概率
对应概率
2． （1）求算符【答案】⑴
即算符⑵则
不对易.
得证.
a 为玻尔半径. 故氢原子可能能量为
的对易关系. （2）证明其中
3． 若是电子的自旋算符，求： （1）（2）【答案】⑴或者：（2）
4．
若有已归一化的三个态交，归一的新的态矢量
【答案】因为设由
所以
和
和]
贝IJ :
得：
同理，设由
代入上式，得：
故：
5． —自旋中的矩阵为
（1）不考虑空间运动，由求任意时刻f 的波函数
则：
因此：
且有
试用Schmidt 方法构成正
的粒子的哈密顿算符
为实常数。
其中，，在表象
确定自旋运动定态能量. 与定态波函数并求
和
的几率。 时波函数为
已知时，
（2）同时考虑空间运动和自旋运动，已知
是的本征值
与自旋的平均值：
其中
及能量£
、动量
的本征函数，求任意时刻的波函数
【答案】（1
）
本征方程
为若
设
即需
解
方程有非零解，则必有
可得：
因此：
任意时刻，因为
时刻，
且：
故：
的几率为：
的几率为：（2）容易证明，
时刻，粒子的空间波函数为
的本征态，对应本征值为
故：
6． 自旋在
方向的粒子，磁矩为
置于沿z
方向的磁场中，写出其哈密顿量，并求其
因此：
概率幅与时间的关系。 【答案】将上述自旋在
方向的粒子（譬如电子）置于沿z 方向的磁场B 中观察其概率幅的
变化。这时的哈密顿矩阵为：
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