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2017年暨南大学量子力学,电动力学,固体物理,热力学与统计物理之量子力学复试实战预测五套卷

  摘要

一、计算题

1. 若是电子的自旋算符,求: (1)(2)【答案】⑴或者:

(2)

2. 设无外势场时,质量为能量为E >0的粒子的状态用球面波描写. 试 (1)导出决定S 波(1=0)波函数的常微分方程; (2)求出所有S 波的球面波波函数;

(3)计算对应于S 波解的速度流矢量并作出图示.[南京大学2009研] 【答案】(1)无外势场可看做有心势场的特殊情况. 则粒子在球坐标系中薛定谔方程为

在s 波情况下,令则(2)

故对应波函数为

其中A 为归一化系数. (3)概率概率流密度公式为球坐标系中

明显与角度无关,故对应概率流密度的三个分量为

而同理

3. 粒子在二维无限深势阱中运动

,(1)写出本征能量和本征波函数; (2)若粒子受到微扰

的作用,求基态和第一激发态能级的一级修正。

【答案】 (1)根据题意,易写出粒子在二维无限深势阱中本征能量和波函数。

(2)基态的一级能量修正

在计算第一激发态能级的一级修正时,由于存在两组简并态利用简并下能级的修正方法计算. 令

则可计算出微扰

所以微扰可表示成

所以

的矩阵表达式

得:

4. 空间中有一势场射)。 (1)写出

它在时趋于零. 一质量为m 的自由粒子被此势场散射(弹性散

时,被散射粒子的渐近波函数

的表达式;如果已知散

(2

)从被散射粒子的渐近波函数射振幅

求微分散射截面

读出散射振幅

【答案】(1)该渐进波函数为

其中

为径向波函数,则有

另外

时,

上式即

解得而

时,时,

微分散射截面

故所求为

(2)散射振幅即,