2017年吉首大学量子力学(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？
【答案】力学量在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为的本征值。
2． 设粒子从入射，进入一维阶跃势场：当x ＜0时，而当x ＞0时
，
如果粒子能量
（1）写出波动方程式并求解； （2）求透射系数；
（3）求反射系数并求与透射系数之和. 【答案】（1）粒子波动方程为
令
则方程的解为
其中第一部分为入射波，第二部分为反射波
.
此即透射波函数.
由波函数连续及波函数导数连续有
试
解得
则波函数为其中
（2）由概率流密度公式入射波函数概率流密度为
：反射波函数概率流密度为
：透射波函数概率流密度为
：
可知
透射系数即（3）反射系数即显然R+T=l.
3． 氢原子处在基态（1）r 的平均值； （2）动能的平均值； （3）动量的概率分布函数. 【提示：
【答案】（1） r 的平均值即
求：
】
5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级
和简并度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题 （2）由维里定理
（为势能关于r 的幂次）有动能平均值
其中玻尔半径
而氢原子基态能量为
故
5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并
度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并度，与三维各向同性谐振子比较.
4． 对于描述电子自旋的泡利矩阵 （1）在表象中求（2）若明其物理意义.
（3）对于两个电子组成的体系，若用本征态，证明态矢量【答案】（1）在由
和由
表象中，
很容易求得
分别表示单电子自旋平方和自旋z 分量的共同
是体系总自旋平方的本征态.
的本征值与本征矢：
的归一化本征函数. 为某一方向余弦，证明算符
的本征值为±1，说
的本征方程
（2）
的本征方程
可得，
故
（3）在耦合角动量表象中，总自旋其中
则题中
5． 己知氢原子的径向波函数（1）求归一化常数A. （2）己知连带勒让德函数（3）对于本征态【答案】⑴（2） 所以
|
（3）对于本征态量的z 分量：
其对应的能量为：
角动量：
角动
本征函数可以表示为
求氢原子的归一化本征函数
其对应的能量、角动量、角动量z 分量各是多少？
故
是
的本征态.
其中a 为波尔半径.
的共同本征态
其物理意义即电子自旋的泡利算符，在空间任意一个方向的投影只能取两个值：