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一、计算题

1． 设

是自旋为1/2的粒子的沿x 、y 与z 轴的自旋算符，而是某一角度.

（1）写出粒子的自旋算符在

表象中的的矩阵形式； （2）将述算符的乘积化简为粒子自旋算符的线性组合.

【答案】⑴•

（2）由公式

且令

其中n 为正整数，则上式即

题中

利用公式则

结合

可得

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2． 若【

答

求案

】

3． —个电子在沿正Z 方向的均匀磁场B 中运动（只考虑自旋），在t=0时测量到电子自旋沿正X 方向，求在t ＞0时的自旋波函数以及的平均值. 【答案】

在

表象下，

由

可以解得

：

其中

时态矢为：

分别为朝上和朝下时的波函数.

即t=0

时刻电子自选波函数

电子由于自旋产生的能量对应哈密顿量为：故

状态为的本征态，对应本征值为：

t ＞0时刻电子自旋波函数应为

写成矩阵形式，即

而

平均值为

4． 一自由的三维转子的Hamiltonian

为（1）求能谱与相应的简并度； （2）若给此转子施加以微扰

求基态能级移动（直至二阶微扰）.

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式中，是轨道角动量算符，1是转子的转动惯量。

已知：

【答案】（1）显然，哈密顿算符与本征值对应， 故三维转子能谱

（2）转子在基态非简并时，故

其中1为轨道角动量量子数，其简并度为21+1 .

一级修正能量

故由微扰引起的能级移动为

5． Q 表缘的基矢有两个：

二级修正能量

算符有如下性质：

（1）求Q 表象中的本征值和本征函数； （2）已知粒子状态为

求测量力学量的可能值及相应的概率和平均值.

【答案】（1）先算出该算符在Q 表象中的矩阵元

.

设其本证函数为则有由久期方程

对应本征函数为

对应本征函数为

解得

再代回

可得

（2）粒子的力学量可能取值即其本征值.

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