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一、证明题

1． 设函数

在区间

上满足

其中

为常数, 证明:

在

上恒为常数.

【答案】由条件可得

固定X , 令

由两边夹法则

此即有

因此

在

上恒为常数.

, 它把函数f （x ,

2． 设f （x , y , z ）有连续的偏导数, 作自变量变换:y , z）变成F （u , v , w）. 证明:

【答案】方法一对t>0, 若将u , v , w 都换为tu , tv , tw, 则相应地x , y , z 也换成了 tx , ty , tz , 即

在上式两边关于t 求导得

令t=1可得

方法二由f （x , y , z ） =F（u , v , w ）, 利用一阶微分形式的不变性可得

由变换式可知,

由此易知, 当du=u, dv=v, dw=w时, 有

反之也如此, 这表明结论成立.

3． 设

和在点

的某邻域内存在,

令

在点连续, 证明则

也存在, 且

【答案】对于固定的x 0

与分中值定理,

即有 于是有

有:

在y 0的邻域可微, 从而由微

故

4． 设f 为傅里叶系数, 证明

存在, 且

上的光滑函数, 且

命题得证.

为f 的傅里叶级数

为f 的导函数的

【答案】因为f

为又

故

上的光滑函数, 所以f （x ）在上有连续的导函数

即

二、解答题

5． 在什么条件下, 函数

【答案】（1

）设

的反函数就是它本身? 此时

要使反函数存在必有

函数

的反函数是

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它们是同一函数的充要条件是可见, 当（2）设

时, 当且仅当此时

或

的定义域为

即

时, 它的反函数就是它本身.

要使它的反函数存在, 必须有等式得到成立.

综上所述, 当且仅当就是它本身.

6． 计算第二型曲面积分

其中S

是平行六面体

（h （z ）为S 上的连续函数.

【答案】设平行六面体在yz , zx , xy 平面上的投影区域分别为

, 则有

7． 求下列不定积分:

（1）

（2）

（3）

或原式（3）原式==

8． 求曲面

【答案】

它的反函数是

要对除外的一切实数成立

. 去分母后

, 再比较

x 的系数,

由此可知, 当

时, 当且仅当

时也的反函数

时, 它的反函数就是它本身. 另外,

注意到在情形（1）中,

并且

或

时, 函数

g （y ））的表面并取外侧为正向, f （x ）、、

【答案】（1）原式（2）原式

在点（3, 1, 1）处的切平面与法线方程.