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一、证明题

1． 设f 为

上的增函数，其值域为

都存在.

设

同理有假

设时

，

这与f 的值域为

或

者

证明f 在

上连续. 设

. 因为f 为因为

当

因为为

当

矛盾. 故f 在则不存

在

时

使

得时

的间断点，

【答案】用反证法. 假如f 在上的增函数，所

以所

以

于是或

者

上不连续，则f 有间断点.

由函数极限的保不等式性得

这是因为：

当

而

上连续.

2． 证明：

对

一致收敛.

【答案】这个积分有无穷多个奇点，所以需要将这个积分写成级数形式

.

对而言，t=0为奇点. 由对而言，综上可知，

3． 求证：黎曼

函

【答案】(1)

具有如下性质：

使得

又

从而

上一致收敛. 进一步由连续性定理，可知函数

上连续.

上

(1) 在x>1上连续；(2) 在x>1上连续可微.

为奇点. 由

在[0，b]上一致收敛.

的收敛性知，在[0, b]上一致收敛. 的收敛性知，在[0, b]上一致收敛.

连续，特别在连续. 由于的任意性，即可肯定

(2) 由(1) 可知

使得

又

收敛，从而一

在

上一致收敛. 进一步由逐项求导与连续性定理知

且

在

上连续，特别

在点可导且

在连续. 由的任意性，即可肯定

在；x>l上连续可微.

4． 证明：

(1) 无穷积分(2) 无穷积分

【答案】利用级数法. (1) 原积分：

发散； 收敛.

而

当

时有

故

由

发散，可知

发散，从而原积分发散.

(2) 类似于(1) , 有原积分而

当

时利用不等式

有

故

由

5． 设

收敛，可知在

收敛. 同理可证

收敛，从而

使

【答案】令

则

在

上有二阶连续导数. 对

在上式中取

即得

应用泰勒公式，有

收敛. 由此可知，原积分收敛.

上有一阶连续导数，证明存在

二、解答题

6． 设f (x ) 为可微函数

，算

并求

在

处的值.

则

(2)

I

I

7． 求下列不定积分：

【答案】（1）当

时

，

当

并有方程试对以下两种形式分别计

(1) 由方程确定的隐函数(2) 由方程确定的隐函数

【答案】令 (1)

时，