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一、证明题

1．

利用不等式

为有界数列. 【答案】由不等式令

则有b>a>0.于是

因此，

为递减数列，由此推出

于是

2． 设

由

于

从而可知

即

使得

由f (x ) 在

收敛. 证明：级数收敛，则

令

则

级数

的部分和为

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证明：得到

为递减数列，

并由此推出

即

在

上可微，且

则

为有界数列.

证明：在

，因

此

为

上的单调递减函数，所

以

【答案】令

3． 设函数f 在[a，b]上可导. 证明：存在

【答案】令

续，在(a , b ) 内可导，

且有得.

即

上可导可知，F (x )

在上连使

故由罗尔中值定理知，

存在

4． 设正项级数

【答案】

也收敛，其中

从而级数

5． 证明：函数

在点(0, 0) 连续且偏导数存在，但偏导数在点(0, 0) 不连续，而f 在点(0, 0) 可微. 【答案】当

时

当

时

但由于因此当

时

在点(0, 0) 不连续，然而

所以，在点

可微且

而

不存在(可考察y=x情况) ，

的极限不存在，

从而

在点(0, 0) 不连续.

同理可证因此f 在点(0, 0) 连续.

收敛。

二、解答题

6． 计算下列定积分：

【答案】

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（7）先求原函数，再求积分值：

7． 计算外侧。

【答案】由高斯公式，然后再由球坐标变换得

8． 判别下列级数的敛散性：

(1

) (3

) (5

) (7

) 【答案】(1) (2) 因为而级数(3) 因为

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其中为圆锥曲面被平面z=0，z=2所截部分的

(2)

(4) (6)

所以级数，又因为

收敛，所以级数

_收敛.

发散.