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一、计算题

1． 设二维随机变量

的联合密度函数为

求【答案】

.

的非零区域与

的交集为图阴影部分，所以

图

2． 某商品一周的需求量X 是随机变量, 已知X 的概率密度为

假设各周的需求量相互独立, 以（1）

和

的概率密度

表示k 周的总需求量, 试求:

的概率密度均为

于是, 两周和三周的总需求量

和

的概率密度分别为

表示第i 周的需求量, 则

时,

对于

（2）接连三周中的周最大需求量的概率密度【答案】以而（1）当

连续三周中的周最大需求量为

由卷积公式有

（2）设

是随机变量X 的分布函数, 则连续三周中的周最大需求量

于是, 有

3． 某单位有一台电话总机和200台电话分机, 在同一时刻每台分机以0.05的概率使用外, 且每台分级使用外线与否是相互独立的, 试用中心极限定理估计该单位总机需多少条外线, 才能保证每台分机以90%的概率使用外线.

【答案】设同时使用紫外线的分机数为X ,

设此单定安装的外线共有N 条, 则应用中心极限定理

又查表知

则

故至少要安装14条外线.

4． 在单因子方差分析中，因子A 有三个水平，每个水平各做4次重复试验. 请完成下列方差分析表，并在显著性水平

下对因子A 是否显著作出检验.

表1方差分析表

即

的分布函数为

【答案】补充的方差分析表如下所示:

表2方差分析表

对于给定的显著性水平由于

，查表知，故拒绝域为，

因而认为因子A 是显著的. 此处检验的p 值为

5． 学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就作随机猜测. 现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.

（1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是1/2; （2）学生知道正确答案的概率是0.2.

【答案】记事件A 为“题目答对了”，事件B 为“知道正确答案”，则按题意有

（1）此时有

，所以由贝叶斯公式得

（2）此时有

，所以由贝叶斯公式得

6． 若事件

，是否一定有

？

【答案】不能，因为|发生有多种情况，如

（1）A ，B ，C 中两两不相容（见图1）;

（2）A ，B ，C 中有两个相容，但与第三个都不相容（见图2）; （3）A 与B 相容，A 与C 相容，但B 与C 不相容（见图3）; （4）A ，B ，C 中两两相容，但其交不含任一样本点（见图4）

.

图1 图2 图3 图4

7． 设随机变量X 的密度函数为，事件

出现的次数，试求

，其中，

8． 掷2n+l次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率.

【答案】设事件A 为“正面数多于反面数”，事件B 为“反面数多于正面数”，因为投掷2n+l次，所以“正面数等于反面数”是不可能事件，

由此得

’以Y 表示对X 的三次独立重复观察中

.

，所以

【答案】因为

=A.又由事件A 与B 的对称性知