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2018年华南师范大学生命科学学院314数学(农)之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题

  摘要

一、计算题

1. 设

为取自两点分布b (1, p )的随机样本.

的水平

的检验.

(1)试求单边假设检验问题

【答案】 (1)检验的拒绝域的形式为

在n 给定后,具体的c 值可通过编程计算得到. (2)第二类错误的概率

因此,(n ,c )可由下面的不等式组决定:

具体的值可由编程搜索得到.

编程的想法是:让n 从1开始,对每一给定的n 看是否存在一个c 满足上述不等式组要求(该过程可如下进行:

先找到满足

在MA TLAB 中,获取这个c 的语句为然后将此时的(n ,c )代入验算不存在).

若存在,则n 即为所求,若不存在,则让n=n+l,直至找到满足不等式组要求的c , 如此找到的n 即为满足两类错误概率要求的最小的n.

本例中,通过编程搜索可得最小的n=65(此时对应的c 也可求出,此处为c=2), 此方案下对应的第一类和第二类错误的概率分别为:0.0276和0.0991,注:该问题常称为抽样检验问题.

的c ,

是否成立,成立则c 存在,否则

(2)若要这个检验在p=0.08时犯第二类错误的概率不超过0.10, 样本容量n 应为多大?

,其中c 满足以下两式:

2. 将n 个编号为1至n 的球放入n 个编号为1至n 的盒子中,每个盒子只能放一个球,

【答案】这是一个配对模型, 有即

试证明:

所以由切比雪夫不等式,任对

3. 测得一组弹簧形变x (单位:cm )和相应的外力y (单位:N )数据如下:

由胡克定律知

试估计k , 并在x=2.6cm处给出相应的外力y 的0.95预测区间.

【答案】k 的最小二乘估计为

的均值和方差分别为k 和从而又

,所以,其中

,且两者独立,从而有

因此的预测区间为

,其中

此处,由样本数据可计算得到

从而

而x=2.6cm相应的外力的预测值为

时,查表知

,故

因而得到的预测区间为

, ,

.

4. 假设只考虑天气的两种情况:有雨或无雨. 若已知今天的天气情况,明天天气保持不变的概率为p , 变的概率为

. 设第一天无雨,试求第n 天也无雨的概率.

为“第i 天无雨”,记

则有

所以由全概率公式得

得递推公式

所以

将由此得

5. 设随机变量X 与Y 均服从正态分布,X 服从大小

.

【答案】因为

所以P l 与P 2一样大小.

6. 在某保险种类中,一次关于2008年的索赔数额(单位:元)的随机抽样为(按升序排列):

已知2007年的索赔数额的中位数为5063元. 是否2008年索赔的中位数比前一年有所变化?请用双边符号检验方法检验,求检验的p 值,并写出结论.

【答案】原假设得到检验统计量值为

,备择假设. ,检验的P 值为

p 值小于0.05, 所以拒绝原假设. 从而认为2008年的索赔中位数与前一年相比有变化.

7. 已知某种材料的抗压强度下:

(1)求平均抗压强度. 的置信水平为

的置信区间;

【答案】设事件,且

代入上式可得

,Y 服从试比较以下P l 和P 2的

,作差,

,现随机地抽取10个试件进行抗压试验,测得数据如