2017年首都师范大学基础数学数学物理数学教育(二)之高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 如果在时刻t 以
表示什么？ 【答案】 2． 设二阶导数且
（1）
；（2）
是由方程。
。
，两边同时微分得
又
，则
故
3． 设有一质量为m 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R=cv（其中C 为常数，v 为物体运动的速度，试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系。）
【答案】根据牛顿第二定律，
有关系式
方程成
为
得
于是
有
代入初始条件
积分
得
，得
得
并依据题设条件，
得初值问题
分离变量后积分
。
所确定的函数，其中
具有
表示在时间段[t1，t 2]内向水池注入的水的总量。
的流量（单位时间内流过的流体的体积或质量）向一水池注水，
那么
【答案】（1）由方程
（2）由（1）可得，
代入初始条
件
故所求特解（即下落的距离与时间的关系）为
4． 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
（l ）曲线在点（x ，y ）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;
（2）曲线上点P （x ，y ）处的法线与z 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.
，它在点（x ，y ）处的切线斜率为y ＇，依条件，有y ＇【答案】（l ）设曲线方程为y=y（x ）=x2此为曲线方程所满足的微分方程.
，
故该点处法线斜率为（2）设曲线方程为y=y（x ）. 因它在点P （x ，y ）处的切线斜率为y ＇.
，于是有由条件知PQ 之中点位于Y 轴上，故点Q 的坐标是（-x ，0）方程为
，即微分
二、计算题
5． 试举出具有以下性质的函数f （x ）的例子：
是f （x ）的所有间断点，且它们都是无穷间断点。
【答案】设
6． 求曲线
切线及法平面方程。
【答案】
与
相应的点
为，于是所求切线方程为
法平面方程为
即
，曲线在该点处的切向量为
k
在与
相应的点处的
，显然f （x ）具有所要求的性质。
7． 计算球体体积时，要求精确度在2%以内. 问这时测量直径D 的相对误差不能超过多少?
【答案】由于是由
知
知
，
8． 利用等价无穷小的性质，求下列极限：
（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）
； （n 、m 为正整数）
（3）
注:在作等价无穷小的代换求极限时，可以对分子或分母中的一个或若干个因子作代换，但不能对分子或分母中的某个加项作代换。例如，本题中若将分子中的tanx 、sinx 均换成x ，那么分子成为0，得出极限为0， 这就导致错误的结果。
（4）
三、证明题
9． 利用全微分证明：两数之和的绝对误差等于他们各自的绝对误差之和.
【答案】设u=x＋y ，则
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