2017年上海理工大学高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设有一质量为m 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R=cv（其中C 为常数，v 为物体运动的速度，试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系。）
【答案】根据牛顿第二定律，
有关系式
方程成
为
得
于是
有
代入初始条件
积分
得
，得
得
并依据题设条件，
得初值问题
分离变量后积分
代入初始条
件
故所求特解（即下落的距离与时间的关系）为
2． 设二阶导数且
（1）
；（2）
是由方程。
。
，两边同时微分得
又
，则
故
。
所确定的函数，其中
具有
【答案】（1）由方程
（2）由（1）可得，
3． 验证形如程，并求其通解。
【答案】由又原方程改写
成
即
得
的微分方程，可经变量代换v=xy化为可分离变量的方
，并
将
代入上式，
有
后，便是原方程的通解。
，可分离变量得
积分得
，代入
4． 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
（l ）曲线在点（x ，y ）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;
（2）曲线上点P （x ，y ）处的法线与z 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.
，它在点（x ，y ）处的切线斜率为y ＇，依条件，有y ＇【答案】（l ）设曲线方程为y=y（x ）=x2此为曲线方程所满足的微分方程.
，
故该点处法线斜率为（2）设曲线方程为y=y（x ）. 因它在点P （x ，y ）处的切线斜率为y ＇.
，于是有由条件知PQ 之中点位于Y 轴上，故点Q 的坐标是（-x ，0）方程为
，即微分
二、计算题
5．
求函数
在曲线
上点
处，沿曲线在
该点的切线正方向（对应于t 增大的方向）的方向导数。
【答案】先求曲线在给定点的切线方向 因为
，所以曲线在点
。又
故
处的切线的方向向量可取为
6． 试确定积分区域D ，使二重积分达到最大值.
大于所围的
【答案】由二重积分的性质可知，当积分区域D 包含了所有使被积函数等于零的点，而不包含使被积函数平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.
7． 改换下列二次积分的积分次序:
【答案】（l ）所给二次积分等于二重积
分
。
D 可改写为
，于是
（图1）
小于零的点，即当D 是椭圆
，其
中
图1 图2
（2）所给二次积分等于二重积
分
。
又D 可表示为
，因此
（图2）
（3）所给二次积分等于二重积分其中
，其
中
，
。
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