2017年上海理工大学高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 设曲线L 的方程为
（1）求L 的弧长。
（2）设D 是由曲线L ，直线x=1，x=e及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标。 【答案】（1
）
。
（2）
2． 设D 是由曲线
，直线
及x 轴所围成的平面图形，V x ，V y 分别是D 绕x ，求a 的值。
轴和y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若
【答案】
3． 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴问的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.
，切点为（z ，y ）. 依条件，切线在59轴与Y 轴上的截距分【答案】设曲线方程为y=y（x ）别为2x 与2y ，于是切线的斜率
积分得代入初始条件
，即
。
，分离变量得
。
得C=6。故曲线方程为xy=6。
4． 设有一个由电阻R=10Ω、电感L=2H（亨）和电源电压E=20sin 5tV （伏）串联组成的电路. 开关K 合上后，电路中有电流通过. 求电流i 与时间t 的函数关系.
【答案】依题意，有
，即
其中，记
，则
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故
于是
代入初始条件t=0, i=0, 得C=1, 故电流i 与时间t 的关系为
按波动学的习惯，可写成
二、计算题
5． 设在xOy 面上有一质量为M 的质量均匀的半圆形薄片，占有平面闭区域
，过圆心。垂直于薄片的直线上有一质量为m 的质点P ，OP=a。
求半圆形薄 片对质点P 的引力。
【答案】 积分区域
，于是
由于D 关于y 轴对称，且质量均匀分布，故F x =0。又薄片的面密度
所求引力为
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6． 求曲线
在对应于t=1的点处的切线及法平面方程。
【答案】曲线在对应于t=1的点位
，该点处的切向量
于是曲线在该点处的曲线方程为
即
所求法平面方程为
即
7． 求下列函数的导数：
【答案】（1）（2）（3）
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