2017年首都师范大学应用统计,金融统计,数学教育统计之高等数学考研复试核心题库
● 摘要
目录
2017年首都师范大学应用统计, 金融统计, 数学教育统计之高等数学考研复试核心题库（一） . .. 2 2017年首都师范大学应用统计, 金融统计, 数学教育统计之高等数学考研复试核心题库（二） . .. 9 2017年首都师范大学应用统计, 金融统计, 数学教育统计之高等数学考研复试核心题库（三） . 17 2017年首都师范大学应用统计, 金融统计, 数学教育统计之高等数学考研复试核心题库（四） . 24 2017年首都师范大学应用统计, 金融统计, 数学教育统计之高等数学考研复试核心题库（五） . 30
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一、解答题
1． 小船从河边点0处出发驶向对岸（两岸为平行直线）。设船速为a ，船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为h ，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为k ）. 求小船的航行路线.
图
【答案】设小船的航行路线为C :
则在时刻t ，
小船的实际航行速度为速;
为小船的主动速度.
，故有
由于小船航行路线的切线方向就是小船的实际速度方向（如图）
分离变量，得
，代入3x=0，y=0，得C=0，故小船航行的路线的方程为
由于小船始发于点（0，0）
2． 设有一个由电阻R=10Ω、电感L=2H（亨）和电源电压E=20sin 5tV （伏）串联组成的电路. 开关K 合上后，电路中有电流通过. 求电流i 与时间t 的函数关系.
【答案】依题意，有
，即
其中，记
，则
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，
其中为水的流
，积分得
故
于是
代入初始条件t=0, i=0, 得C=1, 故电流i 与时间t 的关系为
按波动学的习惯，可写成
3． 设曲线L 的方程为
（1）求L 的弧长。
（2）设D 是由曲线L ，直线x=1，x=e及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标。 【答案】（1
）
。
（2） 4． 设求
。
【答案】综合题中所给条件，可得
，其中f 有一阶连续偏导数，
二、计算题
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5． 半径为r 的球沉如水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？
【答案】取x 轴的正向铅直向上，沉入水中的球心为原点，并取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-r，r]对应区间[x，x+dx]的球的薄片的体积为
由于该部分在水面以下重力与浮力的合力为零（因为球的密度与水的密度相同，在水面以上移动距离为r+x, 故作功为
6． 求下列函数
（1）（2）（3）【答案】（1）
.
； 和
： ；
（2）
（3）
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