当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为

, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为

【答案】设取自同一总体的两个样本为由

得

由

得

2． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明：

【答案】

将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得

第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得

第 2 页，共 39 页

,

样本方差分别为

证明:

这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.

3． 设

独立同分布，其共同的密度函数为

（1）证明：（2）计算

和

的均方误差并进行比较；

的估计中，故

最优.

这说明是则Y 的密

都是θ的无偏估计；

（3）证明：在均方误差意义下，在形如【答案】（1）先计算总体均值为θ的无偏估计. 又总体分布函数为度函数为

于是有

这表明

也是θ的无偏估计.

（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于

故有

又

从而

由于（3）对形如

因此在均方误差意义下，的估计有

优于

故

因此当估计中，

最优.

第 3 页，共 39 页

时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，在形如的

4． 设X 〜N （0, 1）, Y 各以0.5的概率取值±1, 且假定X 与Y 相互独立. 令

（1）

（2）X 与Z 既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得

所以Z 〜N （0, 1）.

（2）因为E （X ）=0, E （Y ）=0, 且X 与Y 相互独立, 所以

证明:

所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的, 我们考查如下特定事件的概率, 且对其使用全概率公式

考虑到而

所以

是其样本，

，证明：故有

即X 与Z 不独立.

是θ的充分统计量，则对

这说明，在均方误差准则下，人

5． 设总体概率函数是p （x ; 0）, g （θ）的任一估计

令

们只需要考虑基于充分统计量的估计.

【答案】我们将均方误差作如下分解

注意到

这说明

于是

因而

6． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

即A ，B 相容.

第 4 页，共 39 页