2017年北京工商大学理学院806概率论与数理统计之概率论与数理统计教程考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立, 则
【答案】记这正是二项分布
因为
的特征函数, 由唯一性定理知
, 且X 与Y
所以由X 与Y 的独立性得
2． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为
试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数
所以由又因为
和
知X 与Y 不独立.
在对称区间上是偶函数, 故
从而
所以X 与Y 不相关.
3． 证明：对正态分布
若只有一个观测值，则
的最大似然估计不存在.
【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为
该函数在似然估计不存在.
时趋于
这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，
从而
的最大
4． 设A ，B 为任意两个事件，且
【答案】
则成立.
5． 设
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明：（2）计算
和
的均方误差并进行比较；
的估计中，故
最优.
这说明是则Y 的密
都是θ的无偏估计；
（3）证明：在均方误差意义下，在形如【答案】（1）先计算总体均值为θ的无偏估计. 又总体分布函数为度函数为
于是有
这表明
也是θ的无偏估计.
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
故有
又
从而
由于（3）对形如
因此在均方误差意义下，的估计有
优于
故
因此当估计中，
最优.
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，在形如的
6． 设X 为非负随机变量，a>0.若
【答案】因为当a>0时， 7 来自正态总体．对称, 且
【答案】记正态分布的样本中位数
的密度函数为
的容量为
存在，证明：对任意的x>0，有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.
的样本中位数是
证明
的密度函数关于
f X ）, 则容量为n=2k+l的分布函数与密度函数分别为F （x ）与（
令此变换的雅可比行列式的绝对值于是y 的密度函数为
其中可得
与
分别是标准正态分布N （0, 1）的分布函数与密度函数, 依据它们的性质
这表明密度函数与E
8． 设明:统计量
（1）若函数
也存在. 于是其中（2）若（0,
, 当
是偶函数, 从而g x ）的密度函数（关于对称, 同时还有
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （x ）是连续严增函数, 证
服从
这是因为F （x ）的反
当
则
时,
时, 有
分布函数, 即
（2）. 相互独立, 由（1）
所以
仅在
（2）. 这是由于y 仅在（0, 1）上取值, 故
【答案】分几步进行:
且F （x ）为连续严增函数, 则
的分布函数为
）上取值, 所以当
这是参数为1的指数分布函数, 也是自由度为2的（3）由与（2）可知
的相互独立性可导致