2017年贵州大学理学院623数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 若函数
满足恒等式
则称
为次齐次函数，
试证下述关于齐次函数的欧拉定理：可微函数并解
为2次齐次函数.
【答案】(1) 必要性由令
则有
充分性设令
由已知，得所以
(2) 因为 2． 设
【答案】所以故
当
=时
，从而
都连续
且
可以用来作为曲线坐标
.
分别对应
平面上坐标曲线
如图1、2所示
由反函数组定理知，存在函数
组
证明：当
时，
求
关于的偏导数得
于是
仅是
令
所以
的函数，记
因此
为2次齐次函数.
作为
两边对求导得
为k 次齐次函数的充要条件是：
可以用来作为曲线坐标，解出
的函数；画出平面上所对应的坐标曲线；计算并验证它们互为倒数.
图1 图2
因
而前面已算得
即
3． 设子列.
【答案】因为取
则
是无界的，所以对使得
则侧
因此
取
则
则则
于是得一有界子列 4． 证明：若在则
使得
使得
使得
. 由致密性定理知，上为连续函数，且对任何为常数。
【答案】由题设知，
当
特别对任何
今
时
，
则有
于是对任
何
这里
有 为常数。
中存在收敛子列. 有
常数，
使得
使得
不是无穷大，
所以
对任意正整
使得
使稩
互为倒数.
是一个无界数列，但非无穷大量. 证明:存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛
为无穷大量.
因数列
5． 设函数f (x ) 和g (x ) 在[a，b]内可积，证明:对[a，b]内任意分割
有
【答案】由积分的定义知
且
由于
可积，所以
(
所以
所以原命题成立.
6． 设
令(1
) (2)
求证：
上可导，且导数只在
(0，1) 上可导，且导数只在
且
处不连续； 处不连续. 听以由连续性定理知.
为振幅)
【答案】(1) 因为又当
时，
因此从而
在上一致收敛. 于是函数
上可导，且
又因为上可导，导数在点处不连续，所以
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