2017年云南大学资源环境与地球科学学院640数学(自命题)考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 求下列含参变量的积分所确定的函数的极限：
【答案】
2． 设
【答案】
3． 求函数
设
故由莱布尼茨公式，得
4． 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积:
及
及
及
。
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，试按定义求。
在x=0处的n 阶导数，则
。
【答案】本题可用布莱尼公式求解。
及
；
（含有z 轴的部分）
【答案】（1）解法一：
利用直角坐标计算。由
，即在xOy 面上的投影区域D xy 为
因此
和，于是
消去z ，解得
（用极坐标）
解法二：用“先重后单”的积分次序求解。 对固定的z ，当0≤z ≤2时，
，于是
（图1）
当2≤z ≤6时，
图
1
（2）解法一：利用球面坐标计算，球面方程分别为
和
，故
（图2）
及圆锥面
的球面坐标
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图
2
解法二：用“先重后单”的方法计算
由
于是
和
解得z=a，对固定的z ，当0≤z ≤a 时
，
当0≤z ≤2a 时，
。
（3
）利用柱面坐标计算。曲面
，消去z ，得于是
和
的柱面坐标方程分别为
（图3）。因此
和
，故它们所围的立体在xOy 面上的投影区域为
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